Question

Pois está também Por A Resposta

5ª questão) Resolva a equação:​

Answer 1

Resolvendo a equação logarítmica proposta temos como resultado x = 1.

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Primeiro, atente-se para as propriedades dos logaritmos, para a definição de logaritmo, e a para a condição de existência dos logaritmos, você pode ver elas em anexo deixadas por mim.

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Dado a seguinte equação

                          $\Large\begin{array}{l}\sf log\:\!_2~(3x-1)-log\:\!_4~(x+1)=\dfrac{~1~}{2}\end{array}$

, veja que temos incógnitas no logaritmando, então a condição de existência nos diz que

• 3x – 1 > 0 ⇔ x > 1/3
• x + 1 > 0 ⇔ x > – 1

x deve ser maior que 1/3. Prosseguindo:

$\begin{array}{l}\quad\quad\quad\ \ \sf log\:\!_2~(3x-1)-log\:\!_{2^2}~(x+1)=\dfrac{~1~}{2}\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2~(3x-1)-\dfrac{~1~}{2}\cdot log\:\!_2~(x+1)=\dfrac{~1~}{2}\\\\\sf\iff~~~\bigg[log\:\!_2~(3x-1)-\dfrac{~1~}{2}\cdot log\:\!_2~(x+1)=\dfrac{~1~}{2}\bigg]\cdot2\\\\\sf\iff~~~2log\:\!_2~(3x-1)-log\:\!_2~(x+1)=1\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2~\big((3x-1)^2\big)-log\:\!_2~(x+1)=1\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2~(9x^2-6x+1)-log\:\!_2~(x+1)=1\\\\\sf\iff~~~log\:\!_2~\bigg(\dfrac{9x^2-6x+1}{x+1}\bigg)=1\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff~~~\sf\dfrac{9x^2-6x+1}{x+1}=2^1\\\\\sf\iff~~~9x^2-6x+1=(x+1)\cdot2\\\\\sf\iff~~~9x^2-6x+1=2x+2\\\\\sf\iff~~~9x^2-6x+1-2x-2=0\\\\\sf\iff~~~9x^2-8x-1=0\\\\\sf\iff~~~9x^2-9x+x-1=0\\\\\sf\iff~~~9x\cdot(x-1)+1\cdot(x-1)=0\\\\\sf\iff~~~(9x+1)\cdot(x-1)=0\\\\\iff~~\begin{cases}\sf9x+1=0~\Leftrightarrow~x\:\!_1=-\dfrac{1}{9}\\\\\sf x-1=0~\Leftrightarrow~x\:\!_2=1\end{cases}\end{array}$

Assim, sabendo que – 1/9 é menor que 1/3, então esse valor não nos serve. Portanto temos como única solução, somente:

                                                      $\large\quad\quad\quad\quad\quad\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\sf x=1\end{array}}}$

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Answer 2

Resposta:

x = 1

Explicação:

$log_{2}(3x - 1) - log_{4}(x + 1) = \frac{1}{2}$

$log_{2}(3x - 1) - log_{ {2}^{2} }(x + 1) = \frac{1}{2}$

$log_{2}(3x - 1) - \frac{1}{2} \times log_{2}(x +1 ) = \frac{1}{2}$

$2 log_{2}(3x - 1) - log_{2}(x + 1) = 1$

$log_{2}( {(3x - 1})^{2} ) - log_{2}(x + 1) = 1$

$log_{2}( \frac{ {(3x - 1)}^{2} }{x + 1} ) = 1$

$\frac{(3x - 1 {)}^{2} }{x + 1} = {2}^{1}$

$\frac{ {9x}^{2} - 6x + 1}{x + 1} = 2$

${9x}^{2} - 6x + 1 = 2(x + 1)$

${9x}^{2} - 6x + 1 - 2(x + 1) = 0$

${9x}^{2} - 6x + 1 - 2x - 2 = 0$

${9x}^{2} - 8x - 1 = 0$

${9x}^{2} + x - 9x - 1 = 0$

$x \times (9x + 1) - (9x + 1) = 0$

$(9x + 1) \times (x - 1) = 0$

$9x + 1 = 0 \\ x - 1 = 0$

$x = - \frac{1}{9} \\ x = 1$

X = 1