Question

Poderiam me ajudar?
$\int\limits {tgx}\sqrt[3]{secx} \, dx$

Answer 1

$\displaystyle\int{tgx}\sqrt[3]{secx} \, dx$

Vamos multiplicar e dividir a expressão por sec(x).

$\displaystyle\int{tg(x)}\sqrt[3]{sec(x)} \, dx \, \: \frac{sec(x)}{ sec(x)}$

Vamos realizar uma substituição simples.

$u=sec(x)\to~du=sec(x).tg(x)dx$

$\displaystyle\int{tg(x)}\sqrt[3]{sec(x)} \, dx \, \: \frac{sec(x)}{ sec(x)} = \\ \displaystyle\int{} \frac{\sqrt[3]{u} \, \, {du }}{u}$

$\displaystyle\int{{ {u}^{ \frac{1}{3} - 1 } } du } = \displaystyle\int{{ {u}^{ - \frac{2}{3}}}du } = 3 {u}^{ \frac{1}{3}} + k$

Voltando variável original temos :

$3 {sec(x)}^{ \frac{1}{3} } + k = 3\sqrt[3]{sec(x)} + k$

Portanto

$\displaystyle\int\limits {tgx}\sqrt[3]{secx} \, dx=3\sqrt[3]{sec(x)}+k</p><p>$