Question

Poderiam me ajudar a resolver essas derivadas e se possível me explicar como resolve?
1) f(x)=(2x-3)^4(x²+1)^5
2) y=(x²+1\x²-1)³
3) y=sen(tg 2x)

Answer 1

Antes de resolvermos, vamos relembrar algumas regras de derivações.  

1)Derivada do monômio

$[y]' = [a.x^n ]'$  $(a\neq 0)$

$y' = a.n.x^{n-1}$

exemplo:

$[3x^2]' = 3.2.x^1$ = $6x$

2) Regra da cadeia

Seja  $y = f(u)$  e  $u = g(x)$. então :

$[y]' = [f(u) ]'$  

$y' = f'(u).u'$  

por exemplo :

$y = u^6$ ( onde u é uma função), derivando :

$y' = 6.u^{6-1}.u'$

$y' = 6.u^{5}.u '$  

outro exemplo.

$y = (x^2+x)^5$, derivando :

$y' = 5.(x^2+x)^{5-1}.(x^2+x)'$

$y' = 5.(x^2+x)^4.(2x+1)$

3) Derivada do Produto  

$[f.g]' = f'.g + f.g'$

onde : f e g são funções

Exemplo :

$[(x^2+1).(3x+2)]' = (x^2+1)'.(3x+2) + (x^2+1).(3x+2)'$

$[(x^2+1).(3x+2)]' = 2x.(3x+2) + (x^2+1).(3)$

4) Derivada do quociente

$\frac{f}{g} = \frac{f'.g-f.g'}{g^2 }$  

exemplo :

$[\frac{x^2+1}{3x}]' = \frac{(x^2+1)'.(3x)-(x^2+1).(3x)'}{(3x)^2 }$

$[\frac{x^2+1}{3x}]' = \frac{2x.(3x)-(x^2+1).3}{9x^2 }$

5) Derivada da função trigonométrica Seno.

$[Sen(u)}]'$ ( onde u é uma função )

$[Sen(u)]' = Cos(u).u'$  

6) Derivada da função trigonométrica Tangente.

$[Tg(u)]' = Sec^2(u).u'$

(onde u é uma função )

Sabendo dessas regras, vamos para as questões:

$1) f(x) = (2x-3)^4.(x^2+1)^5$

Para derivar teremos que usar a regra do produto, já que é um produto de função, ou seja,

$f'(x) = [2x-3)^4]'.(x^2+1)^5+(2x-3)^4.[(x^2+1)^5]'$

Toma cuidado nessa parte, note que temos funções com expoentes, então teremos que usar a regra da cadeia nelas, ficando assim :

$f'(x) = [4.(2x-3)^3.(2x-3)'].(x^2+1)^5 +(2x-3)^4.[5.(x^2+1)^4.(x^2+1)']$

$f'(x) = 4.(2x-3)^3.(2).(x^2+1)^5 +(2x-3)^4.5.(x^2+1)^4.(2x)$

$f'(x) = 8(2x-3)^3.(x^2+1)^5 +(2x-3)^4.10x(x^2+1)^4$

Pronto, está derivado. Se quiser dar uma arrumada colocando alguns termos em evidência, teremos :

$f'(x) = (2x-3)^3.(x^2+1)^4.[8.(x^2+1)+(2x-3).10x]$

2) Eu não entendi se é $y = [\frac{x^2+1}{x^2-1}]^3$ ou $y = (x^2 + \frac{1}{x^2} - 1 )^3$, mas de qualquer forma vou resolver os dois.

primeira  

$y = [\frac{x^2+1}{x^2-1}]^3$ , Note que temos um divisão de funções elevado a uma potência.. então vamos usar a regra da cadeia.

$y' = 3.[\frac{x^2+1}{x^2-1}]^2.[\frac{x^2+1}{x^2-1}]'$

Agora teremos que usar a regra do quociente no ultimo termo, ficando da seguinte forma :

$y' = 3.[\frac{x^2+1}{x^2-1}]^2.[\frac{(x^2+1)'.(x^2-1)-(x^2+1).(x^2-1)'}{(x^2-1)^2 }]$

$y' = 3.[\frac{x^2+1}{x^2-1}]^2.[\frac{2x.(x^2-1)-(x^2+1).2x}{(x^2-1)^2 }]$

Podemos colocar o 2.x em evidência

$y' = 3.[\frac{x^2+1}{x^2-1}]^2.\frac{(2x)[.(x^2-1)-(x^2+1)]}{(x^2-1)^2 }$

$y' = 6x.\frac{(x^2+1)^2}{(x^2-1)^2}.\frac{[(x^2-1)-(x^2+1)]}{(x^2-1)^2}$

Note que no denominador temos multiplicação de potência de mesma base,

$(x^2-1)^2.(x^2-1)^2 = (x^2-1)^4$

e no numerador podemos fazer a distributiva, ficando da seguinte forma :

$y' = 6x.[\frac{(x^2-1).(x^2+1)^2-(x^2+1).(x^2+1)^2}{(x^2-1)^4}]$

$y' = 6x.[\frac{(x^2-1).(x^2+1)^2+(x^2+1)^3}{(x^2-1)^4} ]$

segunda

$y = (x^2 + \frac{1}{x^2} - 1 )^3$

vamos usar a regra da cadeia novamente, ficando :

$y' = 3.(x^2-\frac{1}{x^2} - 1)^2.(x^2-\frac{1}{x^2} - 1)'$

Note que podemos reescrever $\frac{1}{x^2}$ como $x^{-2}$, só pra ficar mais facil, vamos derivá-lo usando a derivada do monômio, e depois substituir.

$[x^{-2}]' = -2.x^{-3}$ = $-2.\frac{1}{x^3}$

substituindo :

$y' = 3.(x^2-\frac{1}{x^2} - 1)^2.(2x-(-2)\frac{1}{x^3})$

$y' = 3.(x^2-\frac{1}{x^2} - 1)^2.(2x+\frac{2}{x^3})$  

Pronto, está derivado.

$3) Sen(Tg(2x))$

vamos usar a derivada do seno.

$[Sen(Tg(2x))]' = Cos(Tg(2x)).[Tg(2x)]'$

$[Sen(Tg(2x))]' = Cos(Tg(2x)).Sec^2(2x).(2x)'$

$[Sen(Tg(2x))]' = Cos(Tg(2x)).Sec^2(2x).(2)$

$[Sen(Tg(2x))]' = 2.Sec^2(2x).Cos(Tg(2x)).$

Pronto, está derivado.

Em alguns passos eu fiz direto, mas sendo bem detalhado.

Qualquer dúvida é só falar.