Matemática, perguntado por julianavieira71, 1 ano atrás

Poderiam me ajudar a resolver essa questão?

Encontre as curvas integrais para equação x dy/dx + y = x² y² .

Soluções para a tarefa

Respondido por Danndrt
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x. \frac{dy}{dx} + y = x^{2}y^{2}

Dividindo por x temos:

 \frac{dy}{dx} +  \frac{y}{x}  = xy^{2}

Dividindo tupo por y²:

 y^{-2}.  \frac{dy}{dx} +  \frac{1}{xy}  = x

Como se trata de uma equação de Bernoulli, vamos fazer a seguinte mudança de variável:

u =  \frac{1}{y} \\  \\  \frac{du}{dx} = (0 . y - 1 .  \frac{dy}{dx}) /y^{2}  =  -y^{-2} .  \frac{dy}{dx}    \\  \\ y^{-2} .  \frac{dy}{dx}   = - \frac{du}{dx}

Então, substituindo:

- \frac{du}{dx} +  \frac{u}{x} = x

Multiplicando por -1:

\frac{du}{dx} -  \frac{u}{x} = -x

Agora temos que encontrar o fator integrante:

k =  e^{ \int\ {p(x)} \, dx } , sendo p(x) = - \frac{1}{x}

Assim:

k=e^{ \int\ {- \frac{1}{x} } \, dx } = e^{ -\int\ { \frac{1}{x} } \, dx }=e^{ -ln(x) } = e^{ lnx^{-1} } \\  \\ k =  x^{-1}

Agora multiplicamos toda a equação por k:

x^{-1}.\frac{du}{dx} - x^{-1}.\frac{u}{x} = -x.x^{-1} \\  \\ x^{-1}.\frac{du}{dx} - x^{-2}.u = -1

Agora, sabemos que:

 \frac{d(u.k)}{dx} =  \frac{du}{dx} . k + u .  \frac{dk}{dx}

Então, podemos escrever a igualdade,

x^{-1}.\frac{du}{dx} - x^{-2}.u =  \frac{d(u .  x^{-1} )}{dx}

Então, agora a equação fica:

\frac{d(u .  x^{-1} )}{dx}  = -1

Passando dx para o outro membro:

d(u .  x^{-1} ) = -1 dx

Integrando os dois membros:

 \int\ {d(u .  x^{-1} )} \,  = \int\ {-1 } \, dx  \\  \\ u .  x^{-1}  = -x+C \\  \\  u =  \frac{-x+C}{x^{-1} }  \\  \\ u = - x^{2}  + xC

Lembre-se de que inicialmente, u = 1/y, então:

u = - x^{2}  + xC  \\  \\  \frac{1}{y} =- x^{2}  + xC

Logo, a resposta final será:

\boxed{\boxed{y(x) = \frac{1}{- x^{2}  + xC}  }}

julianavieira71: Muito obrigada!
Danndrt: Imagina ^^
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