Podemos provar por indução que 10n – 4 é divisível por 4 para todo n > 1. Assim, supomos que 10k – 4 = 4p (para algum p natural) e devemos mostrar que:
Soluções para a tarefa
Olá,
A indução matemática consiste de dois passos:
1. Caso base: mostrar que o enunciado vale para n =2, nesse caso.
2. Passo indutivo: mostrar que, se o enunciado vale para n = k, então o mesmo enunciado vale para n = k + 1.
Como queremos mostrar que qualquer número da forma 10n - 4 é divisível por 4, podemos supor que existe um p natural tal que 10 n - 4 = 4p.
1. Caso base:
Vamos verificar se a suposição vale pra n = 2, ou seja, se existe um p tal que 10 n - 4 = 4p, para n = 2. Assim,
10 · n - 4 =
10 · 2 - 4 =
20 - 4 =
16 =
4 · 4
Logo, existe p = 4 de forma que, para n = 2, tem-se 10 · 2 - 4 = 4 · 4.
Agora, vamos verificar se a suposição vale pra n = 3, ou seja, se existe um p tal que 10 n - 4 = 4p, para n = 3. Assim,
10 · n - 4 =
10 · 3 - 4 =
30 - 4 =
26
Note que 26 não é divisível por 4.
Dessa forma, não é possível provar que 10n - 4 é divisível por 4 para todo n > 1, já que encontramos um caso em que isso não é verdade (n = 3).
Qualquer dúvida, basta comentar. Espero ter ajudado =D