Question

Podemos dizer que o limite:

Answer 1

Para que serve o limite?

O conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito.

Onde podemos usar o limite?

Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Calculando o limite.

$lim_{x→1}( \frac{ ln(x) }{ \sin(\pi \times x) } )$

Dado que avaliar os limites do numerador e do denominador resultaria numa fórmula indeterminada, Use a regra de L'Hopital.

Sendo assim...

$lim_{x→1}( \frac{ \frac{d}{dx}( ln(x) ) }{ \frac{d}{dx}( \sin(\pi \times x) }$

Calcule as derivadas.

Sendo assim...

$lim_{x→1}( \frac{ \frac{1}{x} }{\pi \times \cos(\pi \times x) } )$

Simplifique a fração complexa.

Sendo assim...

$lim_{x→1}( \frac{1}{\pi \times x \times \cos(\pi \times x) } )$

Calcule o limite.

Sendo assim...

$\frac{1}{\pi \times 1 \cos(\pi \times 1) }$

Simplifique a expressão matemática.

Sendo assim...

$</em><em>\</em><em>blue</em><em>{</em><em>\</em><em>boxed</em><em>{</em><em>\</em><em>boxed</em><em>{</em><em>\</em><em>boxed</em><em>{</em><em>- \frac{1}{\pi}</em><em>}</em><em>}</em><em>}</em><em>}</em><em>$

Answer 2

Resposta:

$\pink{ \boxed{ \purple{ \boxed{ \displaystyle\lim_{\sf{x \to~1}}\sf{\Big( \dfrac{ \ln(x)}{\sin(\pi x)}\Big)~=~ -\dfrac{1}{\pi}} } } } }$ $\pink{\checkmark}~\purple{\checkmark}$

Explicação passo-a-passo:

Cálculo do Limite

Aplicação de expansão de Taylor-Maclaurin ( Séries ) :

Dado o Limite :

$\displaystyle\lim_{\sf{x \to 1}} \sf{\Big( \dfrac{ \ln(x) }{\sin( \pi x) } \Big) ~=~ L}$

Vamos fazer a mudança de variável de modo que mude sua tendência para zero :

$\sf{ seja :~\red{ x = 1 + k}, ent\tilde{a}o :}$

$\sf{ x \to 1 ~e~ k \to 0 }$

Substituindo poder-se-á ter :

$\iff \sf{ L ~=~ } \displaystyle\lim_{\sf{k \to 0}} \sf{\Big( \dfrac{ \ln(1 + k) }{\sin(\pi k + \pi)} \Big)}$

Sabemos que :

$\color{blue}{ \sf{ \sin(a + b)~=~ \sin(a)*\cos(b) + \cos(a)*\cos(b) } }$ Então :

$\sf{ \sin( \pi k + \pi)~=~ \sin(\pi k)*\underbrace{\cos(\pi)}_{=-1}+ \cos(\pi k) * \underbrace{\sin(\pi) }_{=0} }$

$\iff \sf{~~~ = -\sin(\pi k) + 0*\cos(\pi k) }$

$\boxed{ \sf{ \sin(\pi k + \pi)~=~ -\sin(\pi k) } }$

Reescrevendo o Limite podemos ter que :

$\iff \sf{ L~=~ } \displaystyle\lim_{\sf{ k ~\to~ 0}} \sf{\Big( \dfrac{ \ln(1 + k) }{-\sin(\pi k)} \Big) }$

No limite temos as seguintes funções elementares :

$\sf{ \ln( 1 + x)~e~ \sin(x) }$

(Fórmulas Fundamentais). As funções elementares seguintes admitem as fórmulas de Maclaurin de ordem n indicadas :

$\sf{ \ln(1 + x)~=~ x - \dfrac{x^2}{2} + \dots (-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n} + r_{n}(x) }$

$\sf{ \sin(x)~=~ x - \dfrac{x^3}{3!}+ \cdots + \sin\Big( \dfrac{n \pi}{2}\Big)\dfrac{x^n}{n!} + r_{n}(x) }$

No caso em questão, temos :

$\sf{ \ln(1 + k)~e~ \sin(\pi k) }$ Então vamos ter :

$\sf{ \ln(1 + k)~=~ k - \dfrac{k^2}{2} + \cdots }$

$\sf{ \sin( \pi k)~=~ \pi k - \dfrac{(\pi k)^3}{3!} + \cdots }$

Logo o limite vai ser :

$\iff \sf{ L~=~ }\displaystyle\lim_{\sf{ k ~\to~0}} \sf{ \Bigg( \dfrac{ \green{ k - \frac{k^2}{2}+ \cdots }}{ -\Big(\purple{\pi k - \frac{k^3}{3!} + \cdots} \Big) }\Bigg) }$

Vamos evidenciar o fator comum :

$\iff \sf{L~=~ }\displaystyle\lim_{\sf{ k~\to~0}} \sf{\dfrac{ \cancel{k}\Big( 1 - \frac{k}{2}+ \cdots \Big) }{-\cancel{k}\Big( \pi - \frac{k^2}{3!}+\cdots \Big) } }$

$\iff \sf{L~=~ } \displaystyle\lim_{\sf{ k~\to~ 0}}\sf{ \dfrac{ 1 \cancel{- \frac{k}{2}}+ \cancel{ \cdots } }{-\Big( \pi \cancel{- \frac{k^2}{3!}} + \cancel{ \cdots } \Big) } }$

$\iff \sf{L~=~} \displaystyle\lim_{\sf{k~\to~0}} \sf{ -\dfrac{1}{\pi} }$

$\iff \sf{ \pink{ L~=~- \dfrac{1}{\pi} \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)