Podemos dizer que dois números são primos entre si quando seu MDC é 1, ou seja, o 1 é o único divisor comum. Essa definição também se encaixa para os polinômios. Ou seja, se o MDC entre polinômios é 1, podemos dizer que eles são primos entre si. Com base nesta informação, qual par de polinômios podemos considerar primos entre si?
a) 45x + 15 e 9x² + 6x + 1
b) 3ax + 3bx e 3a² + 6ab + 3b²
c) x²y + xy² e x² + 4x
d) x² - 4y² e x² + 2xy
e) a² - 4b² e a² + 4ab + 4b²
.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
# Sabendo que:
MDC entre dois ou mais números é o produto dos
fatores comuns elevados ao menor expoente.
Sendo assim vamos analisar cada par de polinômios:
a) 45x + 15 e 9x² + 6x + 1
15(3x + 1) e (3X + 1)² ¨¨¨¨ (comum: 3x+1)
____________________________________________
MDC=(3x + 1)
b) 3ax + 3bx e 3a² + 6ab + 3b²
3x(a + b) e 3(a + b)² ¨¨¨¨ comum: 3 e (a+b)
MDC =3(a + b)
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c) x²y + xy² e x² + 4x
xy(x + y) e x(x + 4) ¨¨¨comum: x
MDC = x
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d) x² - 4y² e x² + 2xy
(x - 2y) (x + 2y) e x(x + 2y) ¨¨¨comum: (x + 2y)
MDC = (x + 2y)
______________________________________________
e) a² - 4b² e a² + 4ab + 4b²
(a + 2b)(a - 2b) e (a + 2b)² ¨¨¨comum: (a + 2b)
MDC = (a + 2b)
_____________________________________________
Conclusão: Nenhum desses pares é considerado primo entre si ,
pois, em nenhum deles o MDC é igual a unidade.
45x +15 = 15(3x +1) e 9x² + 6x + 1 = (3x +1)² ; MDC = 3x + 1
B) 3ax + 3bx = 3x(a + b) e 3a² + 6ab + 3b² = 3(a+b)² ; MDC = 3(a + b)
C) x2 y +xy²= (x y)(x + y) e x² + 4x = x(x+ 4); MDC = 1
D) x2 - 4y2=(x -2y)(x + 2y) e x² -2xy = x(x -2y); MDC = (x -2y)
E) a2 4b2=(a-2b)(a+2b) e a² +4ab + 4b²=(a-2b)²; MDC = (a -2b)
Resposta:
Todas tem mais de um fator comum.
Explicação passo-a-passo:
a) 45x + 15 e 9x² + 6x + 1
= 15.(3x+1)
= 9x² + 6x + 1
= (3x)² + (1)²
= (3x+1)²
= (3x+1).(3x+1)
Fator comum: (3x+1)
b) 3ax + 3bx e 3a² + 6ab + 3b²
= 3ax + 3bx
= 3x.(a+b)
= 3a² + 6ab + 3b²
= 3a² + 3ab + 3ab + 3b²
= 3a.(a+b) + 3b.(a+b)
= (a+b).(3a+3b)
Fator comum: (a+b)
c) x²y + xy² e x² + 4x
= x²y + xy²
= xy.(x+y)
= x² + 4x
= x.(x+4)
Fator comum: "xy" e "x"
Fator em evidência são diferentes.
d) x² - 4y² e x² + 2xy
= 1.(x² - 4y²)
= (x - 2y).(x + 2y)
= x² + 2xy
= x.(x + 2y)
Fator comum: (x+2y)
e) a² - 4b² e a² + 4ab + 4b²
= 1.(a² - 4b²)
= (a+2b).(a-2b)
= a² + 4ab + 4b²
= a² + 2ab + 2ab + 4b²
= a(a+2b) + 2b.(a + 2b)
= (a + 2b)²
= (a+2b).(a+2b)
Fator comum: (a+2b)