Question

Podemos dizer que a área delimitada pelas curvas dadas:f(x) = - x2+4x e g(x) = x2 e representada pelo gráfico é:integral 8Escolha uma:a. 10 u.a.b. 8/3 u.a.c. 4/3 u.a.d. 1/2 u.a.

Answer 1

As duas funções são parábolas, f(x) é côncava para baixo e g(x) para cima.

Encontrando os pontos de intersecção:

f(x) = g(x)

-x² + 4x = x²
x² + x² - 4x = 0
2x² - 4x = 0
x.(2x - 4) = 0


Primeiro valor de "x":

x' = 0


Segundo valor de "x":

2x - 4 = 0
2x = 4
x = 4/2
x" = 2


Calculando a área entre as funções no intervalo de 0 a 2:

$\int\limits^2_0 {[f(x) - g(x)]} \, dx \\ \\ \int\limits^2_0 {[(-x^2 + 4x) - (x^2)]} \, dx \\ \\ \int\limits^2_0 {-x^2 + 4x - x^2} \, dx \\ \\ \int\limits^2_0 {-2x^2 + 4x} \, dx \\ \\ \frac{-2x^3}{3} + \frac{4x^2}{2}| \limits^2_0 \\ \\ \frac{-2x^3}{3} + 2x^2| \limits^2_0 \\ \\ (\frac{-2.(2)^3}{3} + 2.(2)^2) - (\frac{-2.(0)^3}{3} + 2.(0)^2) \\ \\ \frac{-2.8}{3} + 2.4 \\ \\ \frac{-16}{3} + 8 \\ \\ \frac{-16 + 24}{3} \ = \ \frac{8}{3} \ ua$


Resposta: Alternativa "b"