Question

Podemos afirmar que, para qualquer matriz quadrada A, quando subtraímos dela a sua matriz transposta, obtemos uma terceira matriz que faz parte de uma classe específica de matrizes.



Considerando as informações dadas e os conceitos estudados sobre transposição de matrizes, assinale a alternativa que representa corretamente qual o tipo da matriz B resultante da operação A - AT = B.

Answer 1

A matriz $B$ resultante da operação $A$ - $A^{T}$ é chamada de matriz triangular.

As matrizes triangulares são um grupo que possuem como característica apresentar zeros na diagonal principal.

Matriz Triangular

Considere a matriz A de ordem 2x2 (vale para qualquer ordem, verifique), dada por:

$A = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d&\end{array}\right]$

A transposta da matriz A é dada por:

$A^{T} = \left[\begin{array}{cc}a&c\\b&d&\end{array}\right]$

A matriz B resultante da operação $A - A^{T}$ é:

$B = A - A^{T} \\\\ B = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d&\end{array}\right] - \left[\begin{array}{cc}a&c\\b&d&\end{array}\right] \\\\B= \left[\begin{array}{cc}a-a&b-c\\c-b&d-d&\end{array}\right] \\\\B= \left[\begin{array}{cc}0&b-c\\c-b&0&\end{array}\right]$

Observe que a diagonal principal agora é composta de zeros. As matrizes que possuem a diagonal principal composta apenas por zeros são chamadas de matrizes triangulares. Logo, a matriz B resultante da operação $A-A^{T}$ é uma matriz triangular.

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Espero ter ajudado, até a próxima :)