Question

Podemos afirmar que a quantidade de numeros naturais que são divisíveis, ao mesmo tempo por 42, 130 e 165 e que tem 6 algarismos é

a) 29
b) 30
c) 31
d)32
e)33

Answer 1

Bem complicada de achar um resultado sem uma tabela, mas de acordo com o que vi deve ser 31. Espero estar certo.

Answer 2

O menor número natural que é divisível ao mesmo tempo por 42, 130 e 165 é o MMC entre eles. Neste caso, é o número 30.030.

Mas como queremos que os números tenham 6 algarismos, para encontar o menos deles, basta começar experimentando fatores multiplicadores ao 30030, cujo resultado ultrapasse os cinco algarismos.

Se fizermos 2x30.030=60.060 e 3x30.030=90.090, vemos que os resultados têm cinco algarismos. Mas, ao fazermos 4x30.030=120.120, vemos que o resultado já possui seis algarismos. Este é, portanto, o menor número natural de seis algarismos que é divisível, ao mesmo tempo, por 42, 130 e 165.

A partir daí, iremos multiplicando sequencialmente o MMC pelos números que se seguem ao 4, antes que o resultado tenha sete algarismos.

Notemos que esses números obtidos formam uma PA de razão igual a 30.030, tendo o número 120.120 como 1º termo.

O que queremos descobrir, portanto, é o valor de $n$. Mas, antes disto, teremos que descobrir o valor do n-ésimo termo dessa PA, ou seja, $a_{n}$. Para tal, teremos que arriscar. O menor número natural de sete algarismos é o 1.000.000. Ao dividi-lo por 30.030, encontramos o quociente 33 com resto 9.010. Logo, o maior número de seis algarismos múltiplo de 30030 será 1.000.000 - 9.010 = 990.990.

Agora, temos todos os elementos para o cálculo de $n$.

$a_{n} = a_{1} +(n-1).r$

$990990 = 120120 +(n-1).30030$

$33 = 4 +(n-1)$

$33 = n+3$

$n=30$

Portanto, existem 30 números naturais de 6 algarismosde que são divisíveis, ao mesmo tempo, por 42, 130 e 165.

Letra b).