Question

Podemos afirmar que a dimensão do subespaço vetorial A = {(x,y,z)} pertencentes ao R³, tal que: x - y -14z = 0, é: (ver aula 7,8)

Escolha uma:
a. Dim A = 3
b. Dim A = 2
c. Dim A = 4
d. Dim A = 1

Answer 1

A dimensão do subespaço vetorial é a quantidade de vetores linearmente independentes que geram esse subespaço.


$A=\left\{(x;\,y;\,z)\in \mathbb{R}^{3}:\;x-y-14z=0 \right \}$


Para os vetores do subespaço $A,$ temos que

$x-y-14z=0\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} x=y+14z\\y=y\\z=z \end{array} \right.$


Fazendo $y=\alpha$ e $z=\beta,$ temos que os vetores de $A$ são

$(x;\,y;\,z)=(\alpha+14\beta;\,\alpha;\,\beta)\\ \\ (x;\,y;\,z)=(\alpha;\,\alpha;\,0)+(14\beta;\,0;\,\beta)\\ \\ (x;\,y;\,z)=\alpha\,(1;\,1;\,0)+\beta\,(14;\,0;\,1)$


Logo, o subespaço $A$ é gerado por dois vetores L.I.:

$A=[(1;\,1;\,0),\,(14;\,0;\,1)]$

e assim, temos que $\dim(A)=2.$


Resposta: alternativa $\text{b) }\dim(A)=2.$