Question

Podem me dizer onde errei?

Answer 1

Observe a figura anexa e considerando a o teorema de Pitágoras para os dois triângulos retângulos:

$\left \{ {{h^2=120^2-(42-x)^2} \atop {h^2=90^2-x^2}} \right.$

De onde tiramos:

$120^2-(42+x)^2=90^2-x^2\\ \\ 14400-(1764+84x+x^2)=8100-x^2\\ \\ 14400-1764-84x-x^2=8100-x^2\\ \\ -84x=8100-14400+1764\\ \\ -84x=-4536\\ \\ x=54$

Answer 2

Observe a figura. O observador encontra-se no ponto $C$ a uma distância de $120$ metros do topo da torre (ponto $A$).

Quando ele andou $42$ metros em direção ao pé da torre (segmento $AB$) deslocou-se até o ponto $D$ e sua distância ao topo passou a ser de $90$ metros.

Considere os triângulos $ABC$ e $ABD$ retângulos em $B$.

O Teorema de Pitágoras nos garante que:

$AD^2=AB^2+BD^2$ e $AC^2=AB^2+DC$

Seja $AB=a$ a altura da torre e $BD=b$ a distância do observador ao pé da torre após seu deslocamento.

Temos, $AC=120$, $AB=a$, $BC=b+42$ e $AD=90$, logo:

$90^2=a^2+b^2$ e $120^2=a^2+(b+42)^2$

Da primeira equação, tiramos que, $a^2=90^2-b^2~~~(\text{i})$.

Da segunda equação, temos $a^2=120^2-(b+42)^2~~~~(\text{ii})$.

Igualando $(\text{i})$ e $(\text{ii})$, obtemos:

$90^2-b^2=120^2-(b+42)^2$

$8~100-b^2=14~400-b^2-84b-1~764$

Assim, $84b=14~400-1~764-8~100=4~536~~\Rightarrow~~b=54~\text{m}$.

Logo, a altura da torre é $a=\sqrt{90^2-54^2}=\sqrt{5~184}=72~\text{m}$.