Question

Podem me ajudar nesta questão? Segue imagem​

Answer 1

Resposta:

.

Explicação passo-a-passo:

$Tg^4x + 2.Tg^2x-3=0\\\\\\Tg^2x = t\\\\\\t^2+2t-3=0$

Soma = -b/a = -2/1 = -2

Produto = c/a = -3/1 = -3

Ou seja, as raízes serão dois números cuja soma é -2 e o produto -3, logo:

S = { -3, 1}

Tg²x = -3

x ∉ R

Tg²x = 1

Tg x = ±1

Tg x = 1

x = 45º e 225º = π/4 e 5π/4

Tg x = -1

x = 135º e 315º  = 3π/4 e 7π/4

Dúvidas só perguntar!

Answer 2

Resposta: S = {pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4}

Explicação passo-a-passo:

[tg²(x)]² + 2tg²(x) - 3 = 0 =>

[tg²(x)]² + 3tg²(x) - tg²(x) - 3 = 0 =>

tg²(x)[tg²(x) + 3] - [tg²(x) + 3] = 0 =>

[tg²(x) - 1][tg²(x) + 3] = 0 =>

tg²(x) = 1 (i) ou tg²(x) = - 3 (ii)

De (i) temos:

tg²(x) = 1 => |tg(x)| = 1 => tg(x) = 1 ou tg(x) = - 1 =>

x = 45° + 180°k, k inteiro

ou

x = - 45° + 180°k, k inteiro (ou x = 135° + 180°k, k inteiro)

De (ii) temos:

tg²(x) = - 3 => [tg(x)]² = - 3 e sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo => Não existe valor para “x” que satisfaça tg²(x) = - 3.

Com isso temos duas únicas expressões trigonométricas gerais como respostas:

x = 45° + 180°k, k inteiro (em graus) ou x = pi/4 + kpi, k inteiro (em radianos)

ou

x = - 45° + 180°k, k inteiro (em graus) ou x = - pi/4 + kpi, k inteiro (em radianos)

Mas queremos saber quais são as soluções da equação biquadrática-trigonométrica no intervalo [0, 2pi [. Portanto:

0 <= pi/4 + kpi < 2pi * =>

0 <= pi(1/4 + k) < 2pi =>

0 <= k + 1/4 < 2 =>

- 1/4 <= k + 1/4 - 1/4 < 2 - 1/4 =>

- 1/4 <= k < 7/4 e k é inteiro =>

Logo: k = 0 e k = 1.

Assim sendo, as duas primeiras soluções no intervalo [0, 2pi [ são:

x = pi/4 e x = 5pi/4

Para encontrar as outras duas soluções, faremos:

0 <= - pi/4 + kpi < 2pi =>

0 <= pi(- 1/4 + k) < 2pi =>

0 <= k - 1/4 < 2 =>

1/4 <= k + 1/4 - 1/4 < 2 + 1/4 =>

1/4 <= k < 9/4 e k é inteiro =>

Logo: k = 1 e k = 2.

Assim sendo, as outras duas soluções no intervalo [0, 2pi [ são:

x = 3pi/4 e x = 7pi/4

O conjunto solução da equação biquadrada-trigonométrica, no intervalo [0, 2pi [, é o conjunto S = {pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4}.

* O símbolo “<=” foi utilizado como sendo o “menor ou igual”.

Abraços!