Question

podem me ajudar com essa questão?​

Answer 1

a)

Sendo $p$ o preço unitário dos produtos, $x+y$ a quantidade total vendida e $C(x)+C(y)$ o custo total de produção, a função lucro é dada por:

$L(x,y)=p\cdot(x+y)-[C(x)+C(y)]$

$L(x,y)=[100-2(x+y)]\cdot(x+y)-C(x)-C(y)$

$L(x,y)=100(x+y)-2(x+y)^2-3x-\frac{y^2}{2}$

$L(x,y)=100x+100y-2x^2-4xy-2y^2-3x-\frac{y^2}{2}$

$L(x,y)=-2x^2-\frac{5y^2}{2}-4xy+97x+100y$

b)

Para determinar estes valores, devemos calcular os pontos críticos da função lucro. Estes pontos são aqueles em que as suas derivadas parciais são nulas. Vamos então calcular as derivadas parciais:

$\frac{\partial L}{\partial x}=-4x-4y+97$

$\frac{\partial L}{\partial y}=-5y-4x+100$

Ficamos então com o seguinte sistema de equações:

$\left\{\begin{matrix}\frac{\partial L}{\partial x}=0\\\\\frac{\partial L}{\partial y}=0\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}-4x-4y+97=0\\-5y-4x+100=0\end{matrix}\right.$

Isolando $-4x$ em ambas as equações, ficamos com a seguinte relação:

$4y-97=5y-100$

$y=3$

Substituindo $y$ em qualquer uma das duas equações, achamos que $4x=97-12\therefore x=\frac{85}{4}$. Como $x$ é inteiro, aproximamos 85/4 para o inteiro mais próximo, ficando assim com $x=21$, concluindo assim que o lucro é máximo quando $(x,y)=(21,3)$