Question

Pode-se afirmar que o conjunto verdade da equação logarítmica log (x+1) – log 6 = 0 é​

Answer 1

Utilizando a propriedade do logaritmo do quociente (mostrada abaixo), podemos reescrever a equação, veja:

$\sf Propriedade~do~Logaritmo~do~Quociente:~~\boxed{\sf \log_b\left(\dfrac{a}{c}\right)=\log_ba-\log_bc}$

$\sf \log\,(x+1)-\log6~=~0\\\\\\\log\,\left(\dfrac{x+1}{6}\right)~=~0\\\\\\Aplicando~a~de finicao~de~logaritmo~\left(\log_ba=c~\Longleftrightarrow~~a=b^c\right):\\\\\\\dfrac{x+1}{6}~=~10^0\\\\\\\dfrac{x+1}{6}~=~1\\\\\\x+1~=~1\cdot 6\\\\\\x+1~=~6\\\\\\x~=~6-1\\\\\\\boxed{\sf x~=~5}$

Ainda não terminou! Para garantirmos que x=5 seja a solução da equação, precisamos verificar se ele atende às condições de existência do logaritmo log(x+1).

$\sf Para ~um~logaritmo~qualquer~\log_ba,~devem~ ser~ respeitadas~\\as~seguintes~condic\tilde{o}es~de~existencia:~~\left\{\begin{array}{ccc}\sf b&\sf >&\sf 0\\\sf b&\sf \ne&\sf 1\\\sf a&\sf >&\sf 0\end{array}\right.$

Como podemos ver, ao substituirmos x=5 em log(x+1), teremos log(6), isto é, x=5 atende às condições de existência do logaritmo e, portanto, podemos afirmar que x=5 é solução (única) da equação dada.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$