Question

Pode-se afirmar corretamente que a distância d entre o ponto A(4,5,6) e a reta r:(x, y, z) = (0, 1 + 2t, 5t) é tal que:a) 2 u.c. < d < 3 u.c.b) 3 u.c. < d < 4 u.c.c) 4 u.c. < d < 5 u.c.d) 5 u.c. < d < 6 u.c.

Answer 1

Calcular a distância do ponto $\mathsf{A(4,\,5,\,6)}$ até a reta r, cuja equação é

     $\mathsf{r:~(x,\,y,\,z)=(0,\,1+2t,\,5t)\qquad com~t\in\mathbb{R}.}$


Fazendo t = 0, encontramos um ponto da reta r, que é P(0, 1, 0).


Calculando o vetor $\mathsf{\overset{\longrightarrow}{PA}:}$

     $\mathsf{\overset{\longrightarrow}{PA}=A-P}\\\\ \mathsf{\overset{\longrightarrow}{PA}=(4,\,5,\,6)-(0,\,1,\,0)}\\\\ \mathsf{\overset{\longrightarrow}{PA}=(4-0,\,5-1,\,6-0)}\\\\ \mathsf{\overset{\longrightarrow}{PA}=(4,\,4,\,6)}$


Escrevendo a equação da reta r na forma vetorial:

     $\mathsf{r:~(x,\,y,\,z)=(0,\,1+2t,\,5t)}\\\\ \mathsf{r:~(x,\,y,\,z)=(0,\,1,\,0)+(0,\,2t,\,5t)}\\\\ \mathsf{r:~(x,\,y,\,z)=(0,\,1,\,0)+t\cdot (0,\,2,\,5)}$

Logo, um vetor diretor para a reta r é o vetor $\mathsf{\overset{\to}{v}=(0,\,2,\,5).}$


Podemos usar diretamente a fórmula para o cálculo da distância em termos de produto vetorial.

Sendo θ o ângulo formado pelos vetores $\mathsf{\overset{\longrightarrow}{PA}}$ e $\mathsf{\overset{\to}{v},}$ temos que a distância do ponto A até a reta r é dada por

     $\mathsf{d=\big\|\overset{\longrightarrow}{PA}\big\|\cdot sen\,\theta}\\\\\\ \mathsf{d=\dfrac{\big\|\overset{\longrightarrow}{PA}\big\|\cdot \big\|\overset{\to}{v}\big\|\cdot sen\,\theta}{\big\|\overset{\to}{v}\big\|}}\\\\\\ \mathsf{d=\dfrac{\big\|\overset{\longrightarrow}{PA}\times \overset{\to}{v}\big\|}{\big\|\overset{\to}{v}\big\|}}\\\\\\ \mathsf{d=\dfrac{\|(4,\,4,\,6)\times(0,\,2,\,5)\|}{\|(0,\,2,\,5)\|}}$


Calculando o produto vetorial:

     $\mathsf{(4,\,4,\,6)\times(0,\,2,\,5)}=\begin{vmatrix} \mathsf{\overset{\to}{i}}&\mathsf{\overset{\to}{j}}&\mathsf{\overset{\to}{k}}\\\mathsf{4}&\mathsf{4}&\mathsf{6}\\\mathsf{0}&\mathsf{2}&\mathsf{5} \end{vmatrix}\\\\\\ \begin{array}{lcrcrcr}\mathsf{(4,\,4,\,6)\times(0,\,2,\,5)=}&&\mathsf{20\overset{\to}{i}}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{0\overset{\to}{j}}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{8\overset{\to}{k}}\\&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{0\overset{\to}{k}}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{12\overset{\to}{i}}&\!\!\!-\!\!\!&\mathsf{20\overset{\to}{j}}\end{array}\\\\\\ \mathsf{(4,\,4,\,6)\times (0,\,2,\,5)=(20-12)\overset{\to}{i}+(0-20)\overset{\to}{j}+(8-0)\overset{\to}{k}}\\\\ \mathsf{(4,\,4,\,6)\times(0,\,2,\,5)=8\overset{\to}{i}-20\overset{\to}{j}+8\overset{\to}{k}}\\\\ \mathsf{(4,\,4,\,6)\times(0,\,2,\,5)=(8,\,-20,\,8)}\\\\ \mathsf{(4,\,4,\,6)\times (0,\,2,\,5)=4\cdot (2,\,-5,\,2)}$


Logo,

     $\mathsf{d=\dfrac{\|4\cdot (2,\,-5,\,2)\|}{\|(0,\,2,\,5)\|}}\\\\\\ \mathsf{d=\dfrac{4\cdot \sqrt{2^2+(-5)^2+2^2}}{\sqrt{0^2+2^2+5^2}}}\\\\\\ \mathsf{d=\dfrac{4\cdot \sqrt{4+25+4}}{\sqrt{0+4+25}}}\\\\\\ \mathsf{d=4\cdot \dfrac{\sqrt{33}}{\sqrt{29}}}$

     $\begin{array}{lcl} \mathsf{d=4\sqrt{\dfrac{33}{29}}}&\quad\longleftarrow\quad&\mathsf{dist\hat{a}ncia~do~ponto~A}\\ &&\mathsf{at\acute{e}~a~reta~r.} \end{array}$


Sabemos que

     $\mathsf{464<528<725}\\\\ \mathsf{16\cdot 29<16\cdot 33<25\cdot 29}\\\\ \mathsf{4^2\cdot 29<4^2\cdot 33<5^2\cdot 29}\\\\\\ \mathsf{4^2<4^2\cdot \dfrac{33}{29}<5^2}\\\\\\ \mathsf{4<\sqrt{4^2\cdot \dfrac{33}{29}}<5}\\\\\\ \mathsf{4<4\sqrt{\dfrac{33}{29}}<5}$

     $\mathsf{4<d<5}$        ✔


A distância d está entre 4 e 5 unidades de comprimento.


Resposta:  alternativa  c) 4 u.c. < d < 5 u.c.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)