Question

Pode me ajudar por favor

Answer 1

Como dato nos dicen que $\mathbb R^A$ es un conjunto de aplicaciones.

1) Ahora veamos si $(\mathbb R^A, +)$ es un grupo
1.1) Ley asociativa. Sean $f,g,h\in \mathbb R^A$ entonces se puede ver fácilmente

       $[(f+g)+h](x)= (f+g)(x)+h(x)\\ \left[(f+g)+h\right](x)= f(x)+g(x)+h(x)\\ \\ \text{Asociamos:}\\ \left[(f+g)+h\right](x)= f(x)+[g(x)+h(x)]\\ \left[(f+g)+h\right](x)= f(x)+(g+h)(x)\\ \left[(f+g)+h\right](x)=[f+(g+h)](x)\\ \\ \boxed{(f+g)+h=f+(g+h)} \\ \\.$

1.2) Existencia del elemento neutro. El elemento neutro será una función $e\in \mathbb R^A$ tal que: $(e+f)(x) = (f+e)(x) = f(x)$. Este precisamente es
                         $e(x)\equiv 0 \in \mathbb R^A$

1.3) Existencia de inverso. Si $I(x)\in \mathbb R^A$ es el inverso de una función arbitraria y fija $f(x)\in \mathbb R^A$ entonces debe verificarse

                          $(I+f)(x)=(f+I)(x)\equiv 0$

donde $I=-f$ debido a su unicidad, es decir si suponemos que existe otro inverso $\mathbb R^A\supset J\neq I$ tal que $J+f = f+J =0$ entonces

              $(J+f)+I=0+I\\ \\ \text{Propiedad asociativa y del elemento neutro}\\ \\ J+(f+I)=I\\ \\ J+0=I\\ \\ \text{Propiedad del elemento neutro}\\ \\ J=I$

Por lo tanto $(\mathbb R^A,+)$ es un grupo.

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2) Para mostrar esto solo basta buscar un contra ejemplo que trasgreda una de las condiciones de grupo.

[Demostración por reducción al absurdo]
Afirmemos lo siguiente: Cualquier conjunto de funciones o aplicaciones $A\to \mathbb R$ es un grupo multiplicativo.

Entonces elijamos una aplicación cualquiera, digamos a $f(x)=0$, esta función carece de inverso multiplicativo, es decir que no existe ninguna función $g(x)\in \mathbb R^A$ tal que:

                                    $(g\cdot 0)(x)=1$

Con eso demostraríamos que en general, $(\mathbb R^A,\cdot)$ no es un grupo.