Question

Pitágoras chegou a provar que o número como ( raiz quadrada) de 2 não são racionais, ou seja, como podem ser escritas como uma fração do tipo a/b com a e b inteiros. Você pode fazer essa demonstração considerando um quadrado de lado 1, cuja diagonal é ( raiz quadrada ) 2.
Suponha que por um absurdo, a diagonal do quadrado considerado seja um número racional, sendo assim, teríamos d=a/b, cujos números a e b seriam primos entre si.
Através do teorema de Pitágoras, você pode constatar que tanto a como b são números pares, o que contradiz a hipótese inicial de ambos serem primos entre si.
Logo. a diagonal do quadrado, que é ( raiz quadrada) 2, não pode ser um número racional. Justifique esse argumento.

Answer 1

Vamos supor que $\sqrt{2}$ seja um número racional, ou seja:
$\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ com p e q inteiros e $mdc(p,q)=1$.

Elevando os membros ao quadrado teremos:
$\frac{p^2}{q^2}=2$ ou ainda
$p^2=2q^2...(I)$

Dessa forma vemos que $p^2$ é um número par uma vez que é representado como o produto de 2 e um número inteiro.
Como $p^2$ é um quadrado perfeito par sabemos p necessariamente deve ser par também.
Dessa forma podemos dizer que:$p=2a$ sendo a um número inteiro positivo.
Substituindo  na relação (I) teremos:$4a^2=2q^2$ ou ainda $2a^2=q^2$
Dessa forma vemos que $q^2$ também será um quadrado perfeito par, sendo q par portanto.
Podemos dizer que $q=2b$.

Contudo na hipótese inicial dissemos que $mdc(p,q)=1$
Mas como encontramos p e q sendo números pares teremos que necessariamente$mdc(p,q)=2$.

Portanto a hipótese inicial recai em um absurdo! Dessa forma não podemos escrever $\sqrt{2}$ como uma fração irredutível, ou seja $\sqrt{2}$ não pode ser racional.