Question

pfvrrrr é urgentee
Mostre que:
a) A soma de funções pares é uma função par.
b) A soma de funções ímpares é uma função ímpar .
c) O produto de funções pares é uma função par.
d) O produto de funções ímpares é uma função par.
e) Toda função : IR→ IR pode ser escrita de forma única como soma de uma função par com uma função ímpar

Answer 1

a) seja f(x) e g(x) duas funções quaisquer. Vamos provar que se f(x) e g(x) forem pares existe uma h(x) tal que h(x)=f(x)+g(x) e h(x) é par.

De fato:

f(x) é par→ f(-x)=f(x) l

g(x) é par→g(-x)=g(x) ll

Portanto

h(x)=f(-x)+g(-x)

Por l f(-x)=f(x)

por ll g(-x)=g(x)

Substituindo temos

h(x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x) →h(x) é par c.q.d

$\dotfill$

b)

seja f(x) e g(x) duas funções quaisquer. Vamos provar que se f(x) e g(x) forem ímpares existe uma h(x) tal que h(x)=f(x)+g(x) e h(x) é ímpar.

De fato:

f(x) é ímpar→ f(-x)=-f(x) l

g(x) é ímpar→g(-x)=-g(x) ll

Portanto

h(x)=f(-x)+g(-x)

Por l f(-x)=-f(x)

por ll g(-x)=-g(x)

Substituindo temos

h(x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f(x)+g(x))→h(x) é ímpar c.q.d

$\dotfill$

c)

seja f(x) e g(x) duas funções quaisquer. Vamos provar que se f(x) e g(x) forem pares existe uma h(x) tal que h(x)=f(x)•g(x) e h(x) é par.

De fato:

f(x) é par→ f(-x)=f(x) l

g(x) é par→g(-x)=g(x) ll

Portanto

h(x)=f(-x)•g(-x)

Por l f(-x)=f(x)

por ll g(-x)=g(x)

Substituindo temos

h(x)=f(-x)•g(-x)=f(x)•g(x) →h(x) é par c.q.d

$\dotfill$

d)

seja f(x) e g(x) duas funções quaisquer. Vamos provar que se f(x) e g(x) forem ímpares existe uma h(x) tal que h(x)=f(x)•g(x) e h(x) é par.

De fato:

f(x) é ímpar→ f(-x)=-f(x) l

g(x) é ímpar→g(-x)=-g(x) ll

Portanto

h(x)=f(-x)•g(-x)

Por l f(-x)=-f(x)

por ll g(-x)=-g(x)

Substituindo temos

h(x)=f(-x)•g(-x)=-f(x)•-g(x)=f(x)•g(x)→h(x) é par c.q.d

$\dotfill$

e)

Considere duas funções f(x) e g(x) quaisquer. Devemos mostrar que se f(x) é par e g(x) é ímpar então existe h(x)=f(x)+g(x) e h(x) é único.

De fato,

f(x) é par→f(-x)=f(x) l

g(x) é ímpar→g(-x)=-g(x) ll

Daí

h(x)=f(-x)+g(-x)

Por l f(-x)→ f(x)

Por ll g(-x)→ -g(x)

Substituindo

h(x)=f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-g(x)+f(x)→ soma única c.q.d