Question

pfvr me ajudem!
Qual é a função da derivada
$y = \sqrt{1 + 6x}$
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Answer 1

Temos a seguinte função:

$\sf y = \sqrt{1 + 6x}$

Através da seguinte propriedade de potência/radiciação, vamos transformar essa raiz em potência: $\sf a {}^{ \frac{n}{m} } = \sqrt[m]{a {}^{n} }$, aplicando:

$\sf y = (1 + 6x) {}^{ \frac{1}{2} }$

Observe que temos uma função composta, ou seja, para derivarmos essa função devemos usar a regra da cadeia, para facilitar a nossa vida, vamos dar nome as funções. A função que está dentro do parêntese, chamaremos de "u":

$\sf u = 1 + 6x$

E a função "y" será a função "u" elevada a 1/2:

$\sf y = u {}^{ \frac{1}{2} }$

A regra da cadeia nos fornece a seguinte expressão: $\sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$, aplicando:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du}(u {}^{ \frac{1}{2} } ). \frac{d}{dx} (1 + 6x)$

Devemos aplicar a regra da potência e lembrar também que a derivada de uma constante é igual a "0", a regra da potência é: $\sf x^{n} = n.x^{n-1}$, aplicando:

$\sf \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} .u {}^{ \frac{1}{2} - 1} .6 \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{u {}^{ - \frac{1}{2} } }{2} .6 \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = 3 . \frac{1}{u {}^{ \frac{1}{2} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \boxed{ \sf\frac{dy}{dx} = \frac{3}{ \sqrt{u{}^{ } } } }\:\:\:\:$

Repondo o "valor" de "u":

$\boxed{ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{3}{ \sqrt{1 + 6x} }}$

Espero ter ajudado