Question

Pfv! qual é a inversa dessa matriz?

Answer 1

Para matrizes 3x3, a forma de achar a inversa é esta:

A.A^-1 = I

A = matriz qualquer
A^-1 = matriz inversa de A
I = matriz identidade


Vou chamar os termos da matriz A^-1 assim:

a11 = a
a21 = b
a31 = c
a12 = e
a22 = f
a32 = g
a13 = h
a23 = i
a33 = j

Eu ''comi'' o d pq eu tinha errado ali embaixo, então deu preguiça de escrever (muita conta :x).



Agora só montar a multiplicação de A x A^-1:


                            a                e                          h
                            b                f                           i
                            c                g                          j

 
1 9 5 ------- a+9b+5c --------e+9f+5g ------------h+9i+5j
3 1 2 ------- 3a+b+2c --------3e+f+2g ------------3h+i+2j
6 4 4 ------- 6a+4b+4c ------ 6e+4f+4g ----------6h+4i+4j


Esse sistema de multiplicação correlaciona em cada termo da matriz identidade, as linhas da matriz A com as colunas da matriz inversa de A. Exemplo: a11 da identidade = linha 1 de A x coluna 1 de A^-1




Agora vou trabalhar com a primeira coluna da matriz identidade:

a+9b+5c = 1
3a+b+2c = 0
6a+4b+4c = 0


Vou pegar a segunda equação e multiplicar por 2, depois subtrairei a terceira da mesma:

6a+2b+4c = 0 (segunda equ multipl por 2)


6a+2b+4c - (6a+4b+4c) = 0-0
6a+2b+4c-6a-4b-4c = 0
2b-4b=0
-2b=0
b=0


Agora vou multiplicar a primeira equação por 3 e depois subtrair a segunda da mesma:

3a+27b+15c = 3  (primeira equ. multipl por 3)


3a+27b+15c - (3a+b+2c) = 3-0
3a+27.0+15c-3a-0-2c = 3
15c-2c = 3
13c = 3
c = 3/13


Agora basta substituir b e c na primeira equação para achar ''a'':

a+9.0+5.(3/13) = 1
a+15/13 = 1
a = 1 - 15/13 = 13/13 - 15/13 = -2/13


Agora vou trabalhar com a segunda coluna:

e+9f+5g = 0
3e+f+2g = 1
6e+4f+4g = 0


Vou pegar fazer o mesmo esquema q fiz na primeira coluna inteira:

6e+2f+4g = 2  ( segunda equ x 2)


6e+2f+4g - (6e+4f+4g) = 2-0
6e+2f+4g-6e-4f-4g  = 2
2f-4f = 2
-2f = 2
f = 2/-2 = -1



3e+27f+15g = 0 (primeira equ x 3)


3e+27f+15g - (3e+f+2g) = 0-1
3e+27.-1+15g-3e-1-2g = -1
-27-1+15g-2g = -1
13g = -1+28 = 27
g = 27/13


Agora basta substituir na primeira equação os valores de ''f'' e ''g'':

e+9.-1+5.(27/13) = 0
e-9+135/13 = 0
e-117/13 + 135/13 = 0
e + 18/13 = 0
e = -18/13


Agora a terceira coluna:

h+9i+5j=0
3h+i+2j=0
6h+4i+4j=1


Mesmo esquema das outras:

6h+2i+4j=0 (segunda equ x 2)


6h+2i+4j - (6h+4i+4j) = 0-1
6h+2i+4j-6h-4i-4j = -1
2i-4i = -1
-2i = -1
i = -1/-2 = 1/2



3h+27i+15j = 0  ( primeira equ x 3 )


3h+27i+15j - (3h+i+2j) = 0-0
3h+27.1/2+15j-3h-1/2-2j = 0
27/2 - 1/2 + 15j - 2j = 0
25/2 + 13j = 0
13j = 25/2
j = 25/13.2 = 25/26


Agora só substituir na primeira equação os valores de ''i'' e ''j'':

h + 9.1/2 + 5.25/26 = 0
h + 9/2 + 125/26  = 0
h = -125/26 - 9/2
h = -125/26 - 117/26 = -242/26 = -121/13



Agora só substituir os valores para cada incognita na própria inversa:



A^-1 =   I   -2/13     -18/13     -121/13       I
              I                                                  I
             I     0            -1             1/2          I
             I                                                  I
             I    3/13      27/13        25/16       I