Question

Pfv, pra amanhã. Calcule o determinante das matrizes usando a regra de laplace

Answer 1

Boa tarde!

Essa vai ser um pouco longa, vamos lá:

Teorema de Laplace involve o cálculo dos cofatores relacionados aos elementos de uma determinada linha ou coluna. Para ser breve vou usar a questão a como exemplo para a explicação.

a) Temos:
     $\left[\begin{array}{cccc}1&2&4&3\\1&1&3&3\\0&3&0&0\\0&2&2&2\end{array}\right]$

Como temos que escolher uma linha ou coluna eu escolherei a primeira linha, pelas outras o processo é análogo.

Pelo teorema de Laplace temos:

$Det A=a11*Ca11+a12*Ca12+a13*Ca13+a14*Ca14$
$Ca_{ij} = (-1)^{i+j}*DetA_{ij}$

Onde Caij é o cofator do elemento que está na linha i coluna j

$a _{ij}$ já está na própria matriz, então a parte mais trabalhosa é achar todos os $DetA_{ij}$, como eu estou os chamando.

Vamos achar esses números agora:
$A_{11}=\left[\begin{array}{cccc}|&-&-&-\\|&1&3&3\\|&3&0&0\\|&2&2&2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&3&3\\3&0&0\\2&2&2\end{array}\right]$

$A_{12}=\left[\begin{array}{cccc}-&|&-&-\\1&|&3&3\\0&|&0&0\\0&|&2&2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&3&3\\0&0&0\\0&2&2\end{array}\right]$

$A_{13}=\left[\begin{array}{cccc}-&-&|&-\\1&1&|&3\\0&3&|&0\\0&2&|&2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&1&3\\0&3&0\\0&2&2\end{array}\right]$

$A_{14}=\left[\begin{array}{cccc}-&-&-&|\\1&1&3&|\\0&3&0&|\\0&2&2&|\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&1&3\\0&3&0\\0&2&2\end{array}\right]$

Perceba o que eu fiz ali, eu estou querendo achar essa matriz Aij, no caso A11, para isso eu vejo a matriz original e removo dela a linha 1 e a coluna 1, como acima. Agora eu fiquei com uma matriz 3x3, é muito mais simples calcular determinantes desse tipo de matriz, então, por simplicidade, eu vou colocar de uma vez os determinantes.

Calculando os determinantes achamos:

$DetA_{11} = 0$
$DetA_{12}= 0$
$DetA_{13}= 6$
$DetA_{14} = 6$

Tendo os "DetAij" podemos calcular aos "Caij"

$Ca_{11} = 0$
$Ca_{12} = 0$
$Ca_{13} = (-1)^{1+3}*DetA_{13} = 1*6 = 6$
$Ca_{14} = (-1)^{1+4}*DetA_{13} = -1*6 = -6$

Depois disso tudo temos tudo que precisamos pra substituir no teorema e achar o determinante!

$Det A=a11*Ca11+a12*Ca12+a13*Ca13+a14*Ca14$
$Det A=1*0+2*0+4*6+3*(-6) = 6$

É isso para a letra A, a letra B é analoga, espero que você consiga fazer!

Abraços e bons estudos!