Question

Pessoal, resolver a conta abaixo e explicar.

$\sqrt{1 + sen^{2}x } = 1+ sen x$

Answer 1

$\sqrt{1+\mathrm{sen^2\,}x}=1+\mathrm{sen\,}x$


Faça a seguinte mudança de variável:

$\mathrm{sen\,}x=t~~~~(-1\le t\le 1)$


Substituindo, a equação fica

$\sqrt{1+t^2}=1+t$


Eleve os dois lados ao quadrado:

$\big(\sqrt{1+t^2}\big)^{\!2}=(1+t)^{2}\\\\\\ 1+\diagup\!\!\!\! t^2=1+2t+\diagup\!\!\!\! t^2\\\\ 1=1+2t\\\\ 2t=1-1\\\\ 2t=0\\\\ t=0$


Substituindo de volta à variável $x$

$\mathrm{sen\,}x=0\\\\ x=k\pi~~~~(\text{com }k\in\mathbb{Z})$

_____________

ATENÇÃO: Quando resolvemos uma equação irracional, ao elevar os dois lados ao quadrado, perdemos uma informação importante: os sinais dos membros da igualdade. Então, temos que testar o valor de $x$ encontrado para verificar se realmente satisfaz à equação original.

$\bullet\;\;$ Testando $x=k\pi:$

$\sqrt{1+\mathrm{sen^2\,}(k\pi)}\\\\ =\sqrt{1+0}\\\\ =\sqrt{1}\\\\ =1+0\\\\ =1+\mathrm{sen\,}(k\pi)~~~~~~(\checkmark)$


Conjunto solução: $S=\{x\in\mathbb{R}:~x=k\pi,\;\text{ com }k\in\mathbb{Z}\}$


Bons estudos! :-)