Question

Pessoal me ajudem, por favor com essa questão, valendo 20 pontos.

Sabendo que a e b são ângulos agudos e que a tg a = 3/4 e tg b = 7/24, calcular sen (a+b) e cos (a+b). 

OBS: fazer passo a passo da resolução, por favor!

Answer 1

Analisando o círculo trigonométrico, como a e b são agudos, deduzimos que seus seno e cosseno têm valores positivos.

$sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosa$

$cos(a+b)=cosa.cosb-sena.senb$

$tga= \frac{3}{4}$ ⇒ $\frac{sena}{cosa} = \frac{3}{4}$ ⇒ $sena = \frac{3cosa}{4}$

$tgb= \frac{7}{24}$ ⇒ $\frac{senb}{cosb} = \frac{7}{24}$ ⇒ $senb = \frac{7cosb}{24}$

$sen^{2} a+ cos^{2} a=1$

$( \frac{3}{4}cos )^{2} a+ cos^{2} a=1$

$\frac{9}{16}( cos )^{2} a+ cos^{2} a=1$

$9cos^{2} a+ 16cos^{2} a=16$

$25cos^{2} a=16$

$cos^{2} a= \frac{16}{25}$

$cos a= \frac{4}{5}$

$sena = \frac{3cosa}{4} = \frac{3}{4} . \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$

$sen^{2} b+ cos^{2} b=1$

$( \frac{7}{24}cos )^{2} b+ cos^{2} b=1$

$\frac{49}{576}( cos )^{2} b+ cos^{2} b=1$

$49cos^{2} b+ 576cos^{2} b=576$

$625cos^{2} b=576$

$cos^{2} b= \frac{576}{625}$

$cos b= \frac{24}{25}$

$senb = \frac{7cosb}{24} = \frac{7}{24} . \frac{24}{25} = \frac{7}{25}$

$sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosa= \frac{3}{5} . \frac{24}{25} + \frac{7}{25}.\frac{4}{5} = \frac{72+28}{125} =\frac{100}{125}= \frac{4}{5}$

$cos(a+b)=cosa.cosb-sena.senb= \frac{4}{5} . \frac{24}{25} - \frac{3}{5} . \frac{7}{25} = \frac{96-21}{125} =\frac{75}{125} = \frac{3}{5}$