Question

Pessoal, estou com duvida nessa questão.



1)Resolva a integral $\int\limits\frac{2x+3}{x^{2} +3x-40} \, } dx$ por substituição e em seguida por frações parciais. Pesquise, explique e demonstre porque os resultados aparentemente diferentes são equivalentes.



2)Resolva a integral$\int\limits {cosx^{5} (x)} \, dx$ usando identidades trigonométricas.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a)$b)\frac{2x+3}{x^{2}+3x-40}=\frac{A}{x+8}+\frac{B}{x-5}=\frac{A(x-5)+B(x+8)}{(x+8)(x-5)}\\\\2x+3=A(x-5)+B(x+8)\\\\p/x=5 ->2.5+3=A(5-5)+B(5+8)->13=13B->B=1\\\\p/B=-8->2.(-8)+3=A(-8-5)+B(-8+8)->-16+3=-13A->-13=-13A->A=1\\\\\\\int\limits {\frac{2x+3}{x^{2}+3x-40 } }\,dx \,=\int\limits {(\frac{1}{x+8}+\frac{1}{x-5})}\,dx=\\\\\int\limits{\frac{1}{x+8} }\,dx+\int\limits {\frac{1}{x-5}}\,dx=ln|x+8|+ln|x-5|+c=ln|(x-8)(x-5)+c=ln(x^{2}+3x-40|+c$Seja x² + 3x - 40 = u

Diferenciando

(2x + 3)dx = du

$\int\limits {\frac{2x+3}{x^{2}+3x-40}}\,dx=\int\limits {\frac{du}{u}}\,dx=ln|u|+c=ln|x^{2} +3x-40)|+c$

x² + 3x - 40 = (x + 8)(x - 5)