Question

Pessoal como faço para saber se
cos 3pi/7 = cos 31pi/7 ???

Answer 1

Dois arcos têm o mesmo cosseno sempre que

•   A soma deles é múltiplo inteiro de $\mathsf{2\pi;}$ OU

•   A diferença entre eles é múltiplo inteiro de $\mathsf{2\pi.}$

_________

Vejamos cada caso considerando os arcos que medem $\mathsf{\dfrac{3\pi}{7}}$ e $\mathsf{\dfrac{31\pi}{7}:}$

•   Calculando a soma:

$\mathsf{\dfrac{31\pi}{7}+\dfrac{3\pi}{7}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{31\pi+3\pi}{7}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{34\pi}{7}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{28\pi+6\pi}{7}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{14\cdot 2\pi+6\pi}{7}}$

$=\mathsf{\dfrac{14\cdot 2\pi}{7}+\dfrac{6\pi}{7}}\\\\\\ =\mathsf{2\cdot 2\pi+\dfrac{6\pi}{7}}\qquad\quad\diagup\!\!\!\!\!\diagdown\\\\\\ \textsf{(n\~ao \'e m\'ultiplo inteiro de }\mathsf{2\pi}\textsf{).}$


•   Calculando a diferença:

$\mathsf{\dfrac{31\pi}{7}-\dfrac{3\pi}{7}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{31\pi-3\pi}{7}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{28\pi}{7}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{14\cdot 2\pi}{7}}\\\\\\ =\mathsf{2\cdot 2\pi}\qquad\quad\checkmark\\\\\\ \textsf{(\'e m\'ultiplo inteiro de }\mathsf{2\pi}\textsf{).}$


Como a diferença entre os arcos é um múltiplo inteiro de $\mathsf{2\pi},$ então

$\mathsf{cos\,\dfrac{3\pi}{7}=cos\,\dfrac{31\pi}{7}.}$


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Bons estudos! :-)