Question

Pessoal, Alguém poderia me explicar de forma detalhada a resolução deste exercício!?




1-Determine o quociente e o resto da divisão de $x^{100} +x+1$ por $x^{2} -1$

Answer 1

Basicamente devemos utilizar o método da chave (o mesmo método usado para realizar a divisão entre números). Devido às limitações do Brainly não poderei mostrar o método de forma visual, mas tentarei o meu melhor escrevendo.

O processo é simples: Devemos inicialmente buscar um termo $ax^n$ que multiplicado pelo termo de maior grau do divisor resulte no termo de maior grau do dividendo. No caso, o termo de maior grau do divisor é $x^2$ e do dividendo é $x^{100}$, logo $ax^n\cdot x^2=x^{100}$. Daí tiramos que $ax^n=x^{98}$. Esse é o 1º termo do quociente.

Devemos agora subtrair do dividendo o produto entre $ax^n$ pelo divisor. Temos então $x^{100}+x+1-x^{98}\cdot(x^2-1)$. Desenvolvendo essa expressão, ficamos com $x^{98}+x+1$. Esse polinômio agora é o nosso próximo dividendo.

Repetindo o processo, devemos achar um novo $ax^n$ tal que $ax^n\cdot x^2=x^{98}$. Ficamos então com $ax^n=x^{96}$, sendo este o próximo termo do quociente. Subtraindo novamente o atual dividendo, ficamos com $x^{98}+x+1-x^{96}\cdot(x^2-1)$, obtendo assim que o novo dividendo é $x^{96}+x+1$.

Devemos continuar realizado esse processo até que o grau do dividendo se torne menor que o grau do divisor. Realizando o processo mais uma vez, achamos que o próximo termo do quociente é $x^{94}$ e o próximo dividendo é $x^{94}+x+1$.

Perceba que temos um padrão dos resultados. De forma geral, iremos realizar esse processo até chegar ao dividendo $x^2+x+1$. Nesse ponto, o valor de $ax^n=1$ e o dividendo resultante da subtração é $x^2+x+1-1\cdot (x^2-1)=x+2$. Como o grau de $x+2$ é menor que o do divisor $x^2-1$, terminamos o processo de divisão aí.

Esse dividendo restante $x+2$ é justamente o resto da divisão, enquanto a soma dos termos $ax^n$ é o quociente da divisão. Concluímos assim que o resto da divisão é $x+2$ e o quociente é $x^{98}+x^{96}+\cdots+x^4+x^2+1$.