Matemática, perguntado por viniciussmaganha, 4 meses atrás

Pessoal alguém pode me ajudar, por favor?

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos cálculos adequados que realizaremos, podemos concluir que o valor dessa integral é $\displaystyle \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{4 x ^3}{3}+ 4x + C$ . E para chegar a essa conclusão tivemos que usar algumas propriedades que as integrais possuem.

Temos a seguinte integral:

$\displaystyle \int (x^2+2)^2dx$

O que vamos fazer é desembrulhar o tipo binômio $\displaystyle (x+a)^2$ , para resolver esse tipo de binômio podemos usar binômio ao quadrado.

Binomial ao quadrado para este binômio é igual a: $x ^2 + 2 a x + a^2$ . Aplicando isso em nossa integral temos:

$\displaystyle \int x^4 +2(2)(x^2) +2^2dx \\ \\\displaystyle \int x^4+4x^2+4dx$

Para resolver essa integral de uma forma mais simples usaremos a regra da adição, que é representada pela expressão: $\displaystyle \int f(x)\pm g(x) dx =\int f(x)dx\pm \int g(x) dx$

Quando aplicado devemos obter:

$\displaystyle \int x^4 dx +\int 4x ^2dx+\int 4dx\\ \\\displaystyle \int x^4 dx +4\int x dx+4\int dx$

Para resolver essas integrais que já são bem básicas, vamos usar a tabela de integração que vou mostrar na imagem, aplicamos as propriedades 1 e 2 nas integrais que são semelhantes a essas expressões.

$\displaystyle\dfrac{ x^{4+1} }{4+1}+4\dfrac{x ^{2+1}}{2+1}+4x+C \\\\ \displaystyle\large \boxed{\boxed{\boxed{\dfrac{ x^{5} }{5}+\dfrac{4x ^{3}}{3}+4x+C}}}$

Então concluímos que tendo feito os cálculos, a solução dessa integral é é $\displaystyle {{ \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{4 x ^3}{3}+ 4x + C}}$ , isso significa que a alternativa A está correta.