Question

Pessoal , alguém pode ajudar?

Answer 1

a) Temos que $f(x)=ln(e^{ \frac{x+1}{2}})$.

Lembre-se que: $(ln(x))'= \frac{1}{x}.x'$ e $(e^x)'=(x)'.e^x$

Então,

$f'(x)= \frac{1}{e^{ \frac{x+1}{2} }}.(e^ \frac{x+1}{2})'$
$f'(x)= \frac{1}{e^ \frac{x+1}{2} }. \frac{1}{2}.e^ \frac{x+1}{2}$
$f'( x)= \frac{1}{2}$

b) Temos que f(x) = (x + 5)².ln(2x).

Nesse caso teremos que usar a Regra do Produto. Logo:

f'(x) = ((x + 5)²)'.ln(2x) + (x + 5)².(ln(2x))'
$f'(x)=2(x+5).ln(2x)+(x+5)^2. \frac{1}{2x}.2$
$f'(x)=2(x+5).ln(2x)+ \frac{(x+5)^2}{x}$

c) Temos que $f(x)= \frac{x^3}{log(3x+1)}$

Nesse caso, temos que utilizar a Regra do Quociente. Como o logaritmo é de base 10, então vale a mesma regra da derivação do ln(x):

$f'(x)= \frac{3x^2.log(3x+1)-x^3. \frac{3}{3x+1} }{(log(3x+1))^2}$
$f'(x)= \frac{3x^2.log(3x+1)- \frac{3x^3}{3x+1} }{log^2(3x+1)}$

d) Temos que f(x) = (ln(x + 1))³.

Nesse caso, temos que utilizar a Regra da Cadeia:

$f'(x)=3(ln(x+1))^2. \frac{1}{x+1}$

e) Temos que $f(x)= \frac{e^{3x^2+5x+4}}{log_5(3x-4)}$

Lembre-se que:

$(log_ax)'= \frac{1}{xlog(a)}.x'$

Nesse caso também teremos que utilizar a Regra do Quociente:

$f'(x)= \frac{(6x+5)e^{3x^2+5x+4}.log_5(3x-4)-e^{3x^2+5x+4}. \frac{3}{(3x-4).log(5)} }{log^2_5(3x-4)}$