Question

pesquisa sobre números complexos .

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi adotar i=−1−−−√.

Definição

Quando vamos solucionar equações do tipo x2+1=0, nos deparamos com x=±−1−−−√. Como não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a notação i2=−1 para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior seria x=±i. Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.

Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma

z=a+bi, a,b∈R

Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é chamada de forma algébrica.

Adição de números complexos

A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.

Definiremos a adição de z1 e z2 da seguinte forma:

z1+z2=(a+bi)+(c+di)

z1+z2=(a+c)+(b+d)i

Exemplo:

Se z1=3+2i e z2=5−3i a soma será:

z1+z2=(3+5)+(2−3)i

z1+z2=8−i

Subtração de números complexos

A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias.

Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.

Definiremos a subtração de z1 e z2 da seguinte forma:

z1−z2=(a+bi)−(c+di)

z1−z2=(a−c)+(b−d)i

Exemplo:

Se z1=7+10i e z2=3+6i a diferença será:

z1−z2=(7−3)+(10−6)i

z1−z2=4−4i

Multiplicação de números complexos

Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim:

Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.

Definiremos a multiplicação de z1 e z2 da seguinte forma:

z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)

z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i

Exemplo:

Se z1=2+5i e z2=1+3i o produto será:

z1⋅z2=(2+5i)+(1+3i)

z1⋅z2=2⋅1+2⋅3i+5i⋅1+5i⋅3i

z1⋅z2=2+6i+5i+15i2

z1⋅z2=2+6i+5i+15⋅(−1)

z1⋅z2=2+6i+5i−15

z1⋅z2=(2−15)+(6+5)i

z1⋅z2=−13+11i

Divisão de números complexos

Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo z1=a+bi será z1=a−bi.

Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.

Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di

Definiremos a divisão de z1 e z2 da seguinte forma:

z1z2=a+bic+di⋅c−dic−di

z1z2=(a+bi)⋅(c−di)c2−(di)2

z1z2=(ac−bd)+(ad+bc)ic2+d2=ac−bdc2+d2+ad+bcc2+d2i