Question

Pesquisa: conjuntos numéricos : [exemplos e exercicios] e sequencias [exercicios e exemplos] manuscrito.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Sequência numérica é uma sucessão finita ou infinita de números obedecendo uma determinada ordem definida antecipadamente.

Uma sequência numérica na matemática deve ser representada entre parênteses e ordenada. Veja como são representadas nos exemplos abaixo:

(1, 2, 3, 4, 5, 6, …): sequência dos números naturais;

(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …): sequência dos números primos positivos;

(1, 3, 5, 7, 9, …): sequência dos números ímpares positivos.

Classificação das Sequências Numéricas

Podemos classificar as sequências numéricas em infinitas e finitas:

Sequência Infinita: uma sequência infinita é representada da seguinte forma: (a1, a2, a3, a4, … , an, …)

Exemplos:

(2, 4, 6, 8, 10, …): sequência dos números pares positivos;

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …): sequência dos números naturais;

As sequências infinitas são representadas com uma reticência no final. Os elementos são indicados pela letra a. Então, o elemento a1, equivale ao primeiro elemento, a2, ao segundo elemento e assim por diante.

Sequência Finita: uma sequência finita é representada da seguinte forma: (a1, a2, a3, a4, … , an)

Exemplo:

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9): sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração;

Nas sequências finitas podemos indicar o elemento an da sequência, pois se trata de uma sequência finita e sabemos exatamente a quantidade de elementos da sequência. Na sequência acima, n = 10, portanto, an é a10 = 9.

Então:

a1 = 0;

a2 = 1;

a3 = 2;

a4 = 3;

a5 = 4;

a6 = 5;

a7 = 6;

a8 = 7;

a9 = 8;

a10 = 9;

Igualdade de Sequências Numéricas

Duas sequências são consideradas iguais se apresentarem os mesmos termos e na mesma ordem.

Exemplo:

Considerem as seguintes sequências:

(a, b, c, d, e)

(2, 7, 9, 10, 20)

As duas sequências acima poderão ser consideras iguais se, e somente se, a = 2, b = 7, c = 9, d = 10 e e = 20.

Considerem as seguintes sequências:

(1, 2, 3, 4, 5)

(5, 4, 3, 2, 1)

As sequências acima não são iguais, mesmo apresentando os mesmos números, elas possuem ordens diferentes.

Fórmula do Termo Geral

Cada sequência numérica possui sua lei de formação. A sequência (1, 7, 17, 31, …) possui a seguinte lei de formação:

an = 2n2 – 1, n ∈ N*

Essa fórmula é usada para encontrar qualquer termo da sequência. Por exemplo, o termo a4 = 2 . 42 – 1 = 31

Exemplo:

a1 = 2 . 12 – 1 = 1;

a2 = 2 . 22 – 1 = 7;

a3 = 2 . 32 – 1 = 17;

a4 = 2 . 42 – 1 = 31;

E assim por diante.

Lei de Recorrência

A lei de recorrência de uma sequência numérica permite calcularmos cada termos conhecendo o seu antecedente:

Exemplo:

Considere a seguinte fórmula de recorrência an + 1 = an – 1 para a sequência (10, 9, 8, 7, 6, …), sendo que o termo a1 = 10. Determine os 5 primeiros termos.

a2 = 10 – 1 = 9;

a3 = 9 – 1 = 8;

a4 = 8 – 1 = 7

a5 = 7 – 1 = 6

Cada sequência numérica possui sua lei de recorrência.

Progressões Aritméticas e Geométricas

As progressões geométricas e aritméticas são sequências numéricas bem conhecidas na matemática.

A progressão aritmética (PA) é um tipo de sequência em que cada termo, começando a partir do segundo, é o termo anterior somado a uma constante r, a qual é chamada de razão da PA.

Uma PA é definida pela seguinte expressão:

an + 1 = an + r

Exemplo:

(1, 2, 4, 6, 8, 10, …): PA com primeiro termo a1 = 0 e razão r = 2.

A progressão geométrica (PG) é um tipo de sequência em que cada termo, começando a partir do segundo, é determinado pela multiplicação por uma constante r, a qual é chamada de razão da PG.

Uma PG é definida pela seguinte expressão:

an = a1 . q(n – 1)

Exemplo:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, …): é uma PG em que o primeiro termo a1 = 0 e razão r = 2.