Question

Pesando um satélite, algumas horas antes dele ser lançado de Barreira do Inferno em Natal, os
técnicos encontraram o valor de 2000 N. Suponha que esse satélite atingirá uma altura de dois raios
terrestres acima da superfície da Terra.
A) Determine a razão entre seu peso ao nível do mar, em
Natal, e seu peso à altura mencionada.
B) Qual a razão entre suas massas nessas duas alturas?

Answer 1

Sabemos pela segunda lei de Newton que:
F=ma (força=massa·aceleração) (1)
Também de Newton, temos, pela Lei da Gravitação Universal, que:
F = -Gm1m2/r^2      (2)
Onde :
G = constante da gravitação universal
m1 e m2 = massas 1 e 2;
r = distância entre o centro dos dois corpos esféricos.
Basicamente queremos descobrir qual é a aceleração gravitacional na altura de dois raios terrestres. Então, substituindo (2) em (1)
 -Gm1·m2/r^2 = m·a        (3)
 Considerando que m1 = m = massa do satélite, m2 = mt = massa da terra e r = R = raio da terra, temos:
-Gmt·m/R^2=ma
-Gmt/R^2 = a  (4)
O valor de a encontrado em (4), representa o valor da aceleração gravitacional na superfície da terra. Agora, para descobrir qual é o valor da aceleração gravitacional na altura de dois raios terrestres, temos que r = 2R:
-Gmt/(2R)^2 = a
-Gmt/(4R^2) = a
Esse é o valor da aceleração gravitacional a altura de dois raios terrestres. Pela segunda lei de Newton, podemos descobrir o valor do peso na superfície e na altura desejada. Na superfície temos:
F = m(-Gmt/R^2)
F = Gm·mt/R^2
F = força peso ; m= massa do satélite; mt=massa da terra; R = raio da terra
Na altura de dois raios terrestres, temos:
F' = m(-Gmt/(4R^2))
F' = -Gm·mt/(4R^2)
F' = força peso na altura de dois raios
A razão entre os dois valores da força peso é
F/F' = (-Gm·mt/R^2)(-Gm·mt/(4R^2))
F/F' = 4R^2/R^r
F/F' = 4
F = 4F'
Esse resultado basicamente diz que a altura de dois raios terrestres a força peso do objeto diminui quatro vezes. Se o valor na superfície terrestre era de 2000N nessa altura será de 500N. A pergunta B pergunta sobre a razão da massa, mas a massa não se altera ela será a mesma independente da força atuante sobre ela. Perceba que resolver esse exercício de maneira algébrica é muito mais fácil, pois nem precisamos utilizar os valores de G ou a massa da terra.