Question

Permutando de todas as maneiras possíveis os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7 e escrevendo em ordem crescente os números obtidos, em que posição encontra-se o número 64375?

Answer 1

Temos 5 algarismos se combinando em 5 posições sem repetição. Assim o total de combinações possíveis é

5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5! = 120

Note que para a primeira posição temos 5 possibilidades de números, portanto a quantidade de combinações que começa com um dado número é

120/5 = 24

Portanto, para cada número na 1ª posição temos 24 combinações, sendo que:

da 1ª até a 24ª combinação, os números começam com 3
da 25ª até a 48ª combinação, os números começam com 4
da 49ª até a 72ª combinação, os números começam com 5
da 73ª até a 96ª combinação, os números começam com 6
da 97ª até a 120ª combinação, os números começam com 7

Portanto o número procurado que começa com 6 está entre as combinações, 73 e 96

Proseguimos com a análise para a segunda posição.

Partindo do princípio que o número 6 ocupa a primeira posição, temos 4 algarismos para ocupar a segunda posição, portanto das 24 combinações possíves, temos

24 / 4 = 6

Temos 6 combinações para cada número na segunda posição. Lembrando que os números que começam com 6 estão entre as combinações 73 e 96, temos que:

da 73ª até a 78ª combinação, os números começam com 63
da 79ª até a 84ª combinação, os números começam com 64
da 85ª até a 90ª combinação, os números começam com 65
da 91ª até a 96ª combinação, os números começam com 67

Portanto, as combinações que nos interressam são as combinações entre 79 e 84.

Seguindo para o terceiro algarismo, temos 3 possibilidade para ocupar a terceira posição. Como temos um total de 6 combinações, temos que

6 / 3 = 2

Temos 2 combinações para cada número na terceira posição. Lembrando que estamo entre as combinações 79 e 84.

da 79ª até a 80ª combinação, os números começam com 643
da 81ª até a 82ª combinação, os números começam com 645
da 83ª até a 84ª combinação, os números começam com 647

Portanto, as combinações que nos interressam estão entre 79 e 80

Para saber qual das duas é a combinação do número 64375, temos:

Combinação 79 = 64357
Combinação 80 = 64375


Portanto, a combinação procurada está na posição 80 da sequência em ordem crescente.