Question

Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e,
escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. A soma de todos os números assim formados é igual a:
a) 1000 000.
b) 1111100.
c) 6 000 000.
d) 6 666 000.
e) 6 666 600.

Gabarito:E

Answer 1

Há 5!=120 números dessa forma. Cada algarismo vai aparecer em uma mesma posição do número 24 vezes. Por exemplo: o 5 vai aparecer 24 vezes como o primeiro algarismo, o 9 tambem, e assim vai. Digamos que os $a_i$ sejam os algarismos. Então:
$10000a_4+1000a_3+100a_2+10a_1+a_0=a_4a_3a_2a_1a_0$
Para a soma do primeiro algarismo, temos:
10000*9*24+10000*7*24+10000*5*24+10000*3*24+10000*1*24
=10000*24*(9+7+5+3+1)=6000000
Para o segundo algarismo, temos:
1000*24*(9+7+5+3+1)=600000
Para o terceiro:
100*24*(9+7+5+3+1)=60000
Para o quarto:
10*24*(9+7+5+3+1)=6000
Para o quinto:
24*(9+7+5+3+1)=600
Resposta:
6000000+600000+60000+6000+600=6666600

Answer 2

Primeiro teremos que ver o número de permutações possiveis que teremos:

Como são 5 algarismos: 5! = 120

Agora vamos colocar o primeiro número formado com esses algarismos em ordem crescente e chama-lo de $a_1$ , teremos:

$a_1$= 13579

E o maior formado com esses números seria: 97531

Agora é só jogar na fórmula da soma:

Sn = $\frac{(13579 + 97531). 120}{2}$

Sn = (13579 + 97531). 120

Sn = 6 666 600