Question

Permutação, o que é?

Com as letras a, b, c, podemos formar as seguintes sucessões (ordem

em que podemos dispor as letras):

(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b) e (c, b, a)

Cada uma dessas sucessões é chamada de permutação das três letras.

Glossário

Permutar: mudar ou trocar

reciprocamente

Cada ordem que se dá aos objetos é chamada de permutação simples dos objetos.

Exemplo:

1 — Formar os anagramas da palavra

a) LIA

b) LUIZ

Solução:

a) Os anagramas são: LIA, LAI, ALI, AIL, IAL, ILA

b) Os anagramas são:

LUIZ LUZI LIUZ LIZU LZUI LZIU

ULIZ ULZI UILZ UIZL UZLI UZIL

ILUZ ILZU IULZ IUZL IZLU IZUL

ZLUI ZLIU ZULI ZUIL ZILU ZIUL

Os anagramas são as “palavras” formadas com as mesmas letras da palavra dada. Tais “palavras” podem não ter significado na linguagem comum.

Agora é sua vez! 1 — Forme todas as permutações dos algarismos 1, 2, 3.

2 — Forme todas as permutações das letras a, b, c, d.

3 — Forme todas as permutações dos símbolos +, +, — e —.

4 — Forme todos os anagramas da palavra BETE.

5 — Forme todos os anagramas da palavra AZUL que começam pela letra Z.

6 — Forme todos os anagramas da palavra PAPAI que começam e terminam por vogal.

7 — Escreva todos os números ímpares de quatro algarismos não repetidos, formados pelos algarismos

1, 2, 3 e 4.

Quantidade de Permutações

Nas aplicações, geralmente, estamos interessados na quantidade de permutações que podem ser

formadas com determinados elementos. Para isso, nem sempre é viável que façamos uma por uma,

como nas atividades anteriores. Então, como podemos proceder?

Exemplo:

1 — Quantos são os anagramas da palavra “calor”?

Solução: permutação ( , , , , ,)

Possilibidades 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Pelo princípio fundamental da contagem, concluímos que podemos formar 5 × 4 × 3 × 2 × 1

permutações diferentes, isto é, existem 120 permutações das cinco letras da palavra “calor”

(ou de cinco objetos diferentes quaisquer).

Indicamos o número de permutações de cinco elementos diferentes por P5

. Temos, assim, que

P5

= 5! = 120

Raciocinando da mesma forma, concluímos que o número de permutações de n objetos distintos é

Pn = n!​

Answer 1

1) 1,2,3 / 1,3,2 / 2,1,3 / 2,3,1 / 3,1,2 / 3,2,1

2) a,b,c,d / a,b,d,c / a,c,b,d / a,c,d,b / a,d,b,c / a,d,c,b

b,a,c,d / b,a,d,c / b,c,a,d / b,c,d,a / b,d,a,c / b,d,c,a

c,b,a,d / c,b,d,a / c,a,b,d / c,a,d,b / c,d,b,a / c,d,a,b

d,b,c,a / d,b,a,c / d,c,b,a / d,c,a,b / d,a,b,c / d,a,c,b

3) ++-- / ++-- / +-+- / +-+- / +--+ / +--+ /

++-- / ++-- / +-+- / +-+- / +--+ / +--+ /

--++ / --++ / -+-+ / -+-+ / -++- / -++- /

--++ / --++ / -+-+ / -+-+ / -++- / -++- /

4) BETE/ BEET / BTEE / EBTE/ EBET / ETBE / EETB / EEBT / TEBE/ TEEB / TBEE / ETEB

5)ZAUL / ZALU / ZUAL / ZULA / ZLUA / ZLAU

6) APPIA / APIPA / AIPPA / AAPPI / APAPI / APPAI / IAPPA / IPAPA / IPPAA

7) 2,3,4,1 / 2,4,3,1 / 2,1,4,3 / 2,4,1,3 / 3,2,4,1 / 3,4,2,1  /4,3,2,1 / 4,2,3,1 / 4,1,2,3 / 4,2,1,3 /1,2,4,3 / 1,4,2,3

Esta é uma questão sobre análise combinatória. Uma permutação na análise combinatória é cada uma das sequência que seja possível formar com determinado número de elementos.

A permutação é calculada como n! que é o fatorial da quantidade de elementos a serem permutados:

a) são 3 elementos então teremos P = 3! = 3.2.1 = 6 permutações

1,2,3 / 1,3,2 / 2,1,3 / 2,3,1 / 3,1,2 / 3,2,1

b) são 4 elementos então teremos P = 4! = 4.3.2.1 = 24 permutações

a,b,c,d / a,b,d,c / a,c,b,d / a,c,d,b / a,d,b,c / a,d,c,b

b,a,c,d / b,a,d,c / b,c,a,d / b,c,d,a / b,d,a,c / b,d,c,a

c,b,a,d / c,b,d,a / c,a,b,d / c,a,d,b / c,d,b,a / c,d,a,b

d,b,c,a / d,b,a,c / d,c,b,a / d,c,a,b / d,a,b,c / d,a,c,b

c) são 4 elementos então teremos P = 4! = 4.3.2.1 = 24 permutações

++-- / ++-- / +-+- / +-+- / +--+ / +--+ /

++-- / ++-- / +-+- / +-+- / +--+ / +--+ /

--++ / --++ / -+-+ / -+-+ / -++- / -++- /

--++ / --++ / -+-+ / -+-+ / -++- / -++- /

d) são 4 elementos para formar anagramas, que não se repetem

BETE/ BEET / BTEE / EBTE/ EBET / ETBE / EETB / EEBT / TEBE/ TEEB / TBEE

ETEB

e) são 3 elementos então teremos P =3! = 3.2.1 = 6 permutações

ZAUL / ZALU / ZUAL / ZULA / ZLUA / ZLAU

f) será a combinação da permutação de 3 elementos com 2 elementos

3!.2! = 3.2.1.2.1 = 12

APPIA / APIPA / AIPPA / AAPPI / APAPI / APPAI / IAPPA / IPAPA / IPPAA

g) serão 12 anagramas:

2,3,4,1 / 2,4,3,1 / 2,1,4,3 / 2,4,1,3 / 3,2,4,1 / 3,4,2,1  /4,3,2,1 / 4,2,3,1 / 4,1,2,3 / 4,2,1,3 /1,2,4,3 / 1,4,2,3