Question

Perguntas a e b sobre funções. Ver foto.

Answer 1

a) Primeiro, vamos descobrir para que valor de "x" esta função tem como imagem 8:

$5^{3x}=8$

$(5^x)^3=2^3$

$5^x=2$

$\log5^x=\log2$

$x\cdot \log5=\log2$

$x=\frac{\log2}{\log5}$

$x=\log_5 2$

Sabemos então que $f(\log_5 2)=8$, logo $a=\log_5 2$.

Agora podemos encontrar aquilo que o exercício nos pede:

$f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log_52}{3})$

$f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log2}{\log5}\div 3)$

$f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log2}{\log5}\cdot \frac{1}{3} )$

$f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log2}{3\cdot \log5})$

$f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log2}{\log5^3})$

$f(-\frac{a}{3})=f(-\frac{\log2}{\log125})$

$f(-\frac{a}{3})=f(-\log_{125}2)$

$f(-\frac{a}{3})=5^{3\cdot (-\log_{125}2)}$

$f(-\frac{a}{3})=(5^3)^{ -\log_{125}2}$

$f(-\frac{a}{3})=125^{ -\log_{125}2}$

$f(-\frac{a}{3})=125^{ (\log_{125}2)\cdot(-1)}$

$f(-\frac{a}{3})=(125^{\log_{125}2})^{-1}$

Note o seguinte, o $\log_{125}2$ representa um expoente que ao elevar o 125 resulta em 2. Aqui estamos elevando o 125 justamente a este expoente, logo:

$f(-\frac{a}{3})=2^{-1}$

$f(-\frac{a}{3})= \frac{1}{2}$

b) Sim, esta função é inversível. Vamos reescrevê-la trocando f(x) por y:

$y=5^{3x}$

Agora para invertê-la trocamos de lugar o "x" e o "y". Depois tentamos isolar o "y":

$x=5^{3y}$

$5^{3y}=x$

$(5^3)^y=x$

$125^y=x$

$\log 125^y=\log x$

$y\cdot \log125=\log x$

$y=\frac{\log x}{\log 125}$

$y=\log_{125} x$

Assim temos a função inversa:

$f^{-1}(x)=\log_{125}x$