Question

Pergunta urgente de Matemática!

A equação da elipse que, num sistema de eixos ortogonais, tem focos F(-3,0) e F(3,0) e passa pelo ponto P(5/2.2raizde3) é?

Answer 1

Primeiramente, sabemos que a elipse está na origem, por isso, sua equação é:

$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$

Se diz que passa pelo ponto P, é só substituir as coordenadas do ponto na equação reduzida da elipse, que cairemos num sistema, pois sabemos que a distância focal 2c=6, logo c=3, e consequentemente:

$a^2=b^2+c^2\\\\ a^2=b^2+3^2\\\\ \boxed{a^2=b^2+9}$

Substituindo

$\frac{(\frac{5}{2})^2}{a^2}+\frac{(2\sqrt{3})^2}{b^2}=1\\\\ \frac{\frac{25}{4}}{a^2}+\frac{12}{b^2}=1\\\\ \frac{25}{4a^2}+\frac{12}{b^2}=1\\\\ 25b^2+48a^2=4a^2b^2\\\\ \boxed{a^2=b^2+9}$

$4a^2b^2-48a^2=25b^2\\\\ 4a^2(b^2-12)=25b^2\\\\ 4(b^2+9)(b^2-12)=25b^2\\\\ 4(b^4-3b^2-108)=25b^2\\\\ 4b^4-12b^2-25b^2-432=0\\\\ 4b^4-37b^2-432=0$

$\boxed{b^2=y}\\\\ 4y^2-37y-432=0\\\\ \Delta=91\\\\ y'=16\\ y''=-5,5\rightarrow nao\ entra\ na\ solucao$

$b^2=y\\\\ b^2=16\\\\ b^2=4^2\\\\ \boxed{b=4}$

Ufa... agora sim, podemos encontrar o "a"

$a^2=b^2+c^2\\\\ a^2=16+9\\\\ a^2=25\\ b^2=16$

Portanto, a equação da elipse.

$\boxed{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1}$