Question

pergunta Um móvel possui a velocidade constante de 40 cm/s. Em seguida, atua so- bre ele uma força que o coloca com aceleração dada por a (t) = -20pi/9 sin (pi/6 t )em cm/s2. Podemos afirmar que a velocidade do móvel no instante t é dada por:

resposta v (t)=40/3 cos (pi/6 t) +80/3


Explicação de como chego na resposta Pliz ​

Answer 1

A velocidade do móvel é

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = \frac{80}{3} +\frac{40}{3}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\\ \\\end{gathered}$

Para a cinemática temos as seguintes relações:

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \vec{v}(t) \qquad \int \vec{v}(t)\,dt = \vec{r}(t)\\ \\\frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \vec{a}(t) \qquad \int \vec{a}(t)\,dt = \vec{v}(t)\\ \\\end{gathered} }$

E fica evidente que

                                               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\frac{d^2\vec{r}(t)}{dt^2} = \vec{a}(t)\end{gathered} }$

Logo a velocidade do móvel vai ser a velocidade inicial que ele tinha, somado a velocidade adquirida pela aceleração que ele sofre, se temos a aceleração e queremos a velocidade temos que fazer a integração, logo

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{v}(t) = v_0+ \int \vec{a}(t)\,dt\end{gathered}$

Como estamos apenas em uma dimensão podemos adotar os vetores apenas como escalares

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = v_0 + \int a(t)\,dt\end{gathered}$

O enunciado nos diz que

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}a(t) = -\frac{20\pi}{9}\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)\end{gathered}$

Portanto

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = \int -\frac{20\pi}{9}\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)dt\end{gathered}$

Pela propriedade de multiplicação por escalar da integral podemos simplificar para

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = -\frac{20\pi}{9} \int\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)dt\end{gathered}$

Aqui temos uma integral imediata do tipo

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \sin\left(kx\right)dx = -\frac{\cos\left(kx\right)}{k} + C\end{gathered}$

Podemos chegar nesse resultado através da substituição

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = kx \Rightarrow du = k\,dx\end{gathered}$

Logo

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{\sin(u)}{k}\,du =\frac{1}{k} \int \sin(u)\,du = -\frac{\cos\left(kx\right)}{k} + C\end{gathered}$

Então podemos retomar nossa integral e resolvê-la

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = -\frac{20\pi}{9} \int\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)dt\\ \\v(t) = \frac{20\cdot 6}{9}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + C\\ \\v(t) = \frac{40}{3}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right) + C\\ \\\end{gathered}$

Lembrando que em v(0) temos que a v = 40, então

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(0) = \frac{40}{3}\cos\left(0\right) + C = 40\\ \\\\C = 40 - \frac{40}{3} = \frac{80}{3} = v_0\end{gathered}$

E por fim

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}v(t) = \frac{80}{3} +\frac{40}{3}\cos\left(\frac{\pi t}{6}\right)\\ \\\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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