Question

pergunta sobre limites e derivadas

Answer 1

$\lim_{x\to0}\left(1-\frac{1}{x}\right)\cdot\tan(ax)=3$

Substituindo temos

$\lim_{x\to0}-\infty\times0$

Como não conhecemos esse tipo de indeterminação temos que fazer uma mudança

$\lim_{x\to0}\frac{\tan(ax)}{\frac{1}{\left(1-\frac{1}{x}\right)}}$

Agora substituindo vamos ter $\frac{0}{0}$

Desta forma podemos aplicar L'Hopital

$\lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}\tan(ax)}{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\left(1-\frac{1}{x}\right)}\right)}$

Derivando agora separado para ficar mais didático

$\frac{d}{dx}\tan(ax)=\frac{d}{dx}\frac{\sin(ax)}{\cos(ax)}$

$\frac{d}{dx}\frac{\sin(ax)}{\cos(ax)}=\frac{a\cos^2(ax)+a\sin^2(ax)}{\cos^2(ax)}$

$\frac{d}{dx}\frac{\sin(ax)}{\cos(ax)}=\frac{a}{\cos^2(ax)}=a\sec^2(ax)$

$\boxed{\boxed{\therefore\frac{d}{dx}\tan(ax)=a\sec^2(ax)}}$

${\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\left(1-\frac{1}{x}\right)}\right)}=\frac{d}{dx}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-1}$

$\frac{d}{dx}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-1}=-1\cdot\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-2}\cdot x^{-2}$

$\frac{d}{dx}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-1}=-\left(1-\frac{1}{x}\right)^{-2}\cdot x^{-2}$

Simplificando

$\boxed{\boxed{\therefore\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\left(1-\frac{1}{x}\right)}\right)=-\frac{1}{(x-1)^2}}}$

Desta forma

$\lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}\tan(ax)}{\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\left(1-\frac{1}{x}\right)}\right)}=\lim_{x\to0}\frac{a\sec^2(ax)}{-\left(\frac{1}{\left(x-1\right)^2}\right)}$

Pra terminar vamos escrever da forma "correta"

$\lim_{x\to0}a\cdot\sec^2(ax)\cdot-\left(x-1\right)^2}=3$

Agora é só jogar a tendência e acabar com o exercício

$-a\cdot\overbrace{\sec^2(a\cdot0)}^{1}\cdot\overbrace{(0-1)^2}^{1}=3$

$-a=3\Rightarrow\boxed{\boxed{a=-3}}$

Alternativa A