Question

Pergunta:
PERGUNTA 1
O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4 dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em que , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em que , 4º dígito: , em que Para descobrir qual é o código, encontre o valor das derivadas.
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante.

1, 2, 1, 4.

2, 1, 1, 4.

3, 1, 1, 4.

2, 1, 1, 5.

2, 1, 2, 4.
​

Answer 1

temos de calcular as derivadas de cada funçao:

PRIMEIRA FUNÇAO:

$f(x) = ln(x) + \frac{5}{3} x$

$f '(x) = \frac{d}{dx} ( ln(x) + \frac{5}{3} x)$

$f '(x) = \frac{d}{dx} ( ln(x) ) + \frac{d}{dx}( \frac{5}{3} x)$

$f '(x) = \frac{1}{x} \: . 1.{x}^{0} + \frac{5}{3}.1. {x}^{0}$

$\red{f '(x) = \frac{1}{x} + \frac{5}{3}}$

.....

.....

......

.....

SEGUNDA FUNÇAO:

$f(x) = \frac{ {x}^{2} - 1}{x + 1}$

$\small{f'(x) = \frac{ (x + 1). \:\frac{d}{dx} ( {x}^{2} - 1) - ( {x}^{2} - 1) .\frac{d}{dx}(x + 1) }{ {(x + 1)}^{2} }}$

$\small{f'(x) = \frac{ (x + 1). \:2x \: - \: ( {x}^{2} - 1) .1 }{ {x}^{2} + 2x+ 1} }$

$f'(x) = \frac{ 2 {x}^{2} + 2x \: - \: ( {x}^{2} - 1) }{ {x}^{2} + 2x+ 1}$

$f'(x) = \frac{{x}^{2} + 2x \: + 1 }{ {x}^{2} + 2x+ 1}$

$\red{f'(x) = 1}$

......

......

.....

TERCEIRA FUNCAO:

$f(x) = x \: . \: {e}^{x}$

$f '(x) = \frac{d}{dx}( x \: . \: {e}^{x} )$

$f '(x) = x \: . \: \frac{d}{dx}({e}^{x} ) + \frac{d}{dx} (x) \: . \: {e}^{ x }$

$f '(x) = x \: . \: {e}^{x} + 1 \: . \: {e}^{ x }$

$\large{ \red{f '(x) = x{e}^{x} + {e}^{ x } }}$

....

.....

....

QUARTA FUNÇAO:

$f(x) = {( {x}^{2} + 2)}^{2}$

$f ' (x) = \frac{d}{dx} ( {( {x}^{2} + 2)}^{2})$

$f ' (x) =2. {( {x}^{2} + 2)}^{1}. \frac{d}{dx} ( {x}^{2} + 2)$

$f ' (x) =(2{x}^{2} + 4) \: .2x$

$\large{\red{f ' (x) =4 {x}^{3} + 8x}}$

......

feito isso substituir os valores para x nas derivadas como pede.

PRIMEIRA FUNÇAO: pede f' ( 3) . o resultado que acharmos sera o primeiro digito do codigo.

$f '(x) = \frac{1}{x} + \frac{5}{3}$

$\large{ f '(3) = \frac{1}{3} + \frac{5}{3}}$

$f '(3) = \frac{1 + 5}{3}$

$f '(3) = \frac{6}{3}$

$f '(3) = 2$

o primeiro digito é 2

......

......

......

......

.....

SEGUNDA FUNÇAO: pede f'(2) . o resultado será o segundo digito do tal codigo do estudante.

$f'(x) = 1$

$f'(2) = 1$

o segundo digito é 1

......

.....

.....

.....

TERCEIRA FUNÇAO : pede f'(0) . o resultado será o terceiro digito do codigo do estudante.

$f '(x) = x{e}^{x} + {e}^{ x }$

$f '(0) = 0.{e}^{0} + {e}^{ 0 }$

$f '(0) = 0.1 + 1$

$f '(0) = 0 +1$

$f '(0) = 1$

terceiro digito é 1

.....

......

....

..... j

QUARTA FUNÇAO: pede f '(1) . o resiltado sera o quarto digito do codigo.

$f ' (x) =4 {x}^{3} + 8x$

$f ' (1) =4. {1}^{3} + 8.1$

$f ' (1) =4. 1 + 8$

$f ' (1) =12$

o ultimo digito do codigo seria 12. mas nao tem nas alternativas. entao nao faço ideia...

é uma das alternativas:

2, 1, 1 , 4

ou

2, 1, 1 , 5

sorry...

eu chutaria que a resposta fosse 2,1,1,4 porque talvez pensando que o resultado 12 da ultima funça dividido por 3 daria 4. mas seila... nao faz muito sentido...

espero ter te ajudado... veja se nao foi um erro da propria questao.

Answer 2

Calculando as derivadas, temos que, o código do armário do estudante é 2, 1, 1, 4, alternativa b.

Primeiro dígito

Para encontrar o primeiro dígito, devemos utilizar a derivada de uma função polinomial e a derivada da função logarítmica. Como a soma das derivadas é a derivada da soma, podemos escrever:

$f' (x ) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{5}{3}$

Substituindo o valor de x por 3 na expressão encontrada para a derivada, temos que:

$f'(3) = 2$

Segundo dígito

Utilizando a fatoração da função polinomial do numerador, podemos simplificar a expressão, logo:

$f(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 1)}{x + 1} = x - 1 \Rightarrow f' ( x) = 1 \Rightarrow f'(2) = 1$

Terceiro dígito

Pela regra da derivada do produto de duas funções, obtemos o resultado:

$f'(x) = e^x + xe^x \Rightarrow f'(0) = 1$

Quarto dígito

Para calcular a derivada podemos utilizar a regra da cadeia ou expandir a expressão dada para a função e, em seguida, derivar a função polinomial encontrada. Observe que a derivada utilizada para esse dígito é a derivada segunda, logo, devemos derivar a função duas vezes consecutivas para encontrar o resultado:

$f(x) = x^4 - 4x^2 + 4 \Rightarrow f'(x) = 4x^3 - 8x \Rightarrow f"(x) = 12x^2 - 8 \Rightarrow f"(1) = 12 - 8 = 4$

Para mais informações sobre derivada, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/48098014

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