Question

Pergunta no campo complexo.

Calcule a integral complexa $\int_{C(0,5)} \frac{1}{sen(z)} dz , z\in \mathbb{C}.$

onde C(0,5) é uma circunferência de centro 0 e raio 5.

Answer 1

Olá, essa é uma pergunta rica em teoria de análise complexa.

Vou supor que você tem mínimo de conhecimento em teoria de resíduos. Nas condições do teorema de Laurent,  que essencialmente diz: se $z_{0}$ é uma singularidade isolada de f, o coeficiente $a_{-1}$ de$\frac{1}{z-z_{0}}$ na série de Laurent de uma função f em $z_{0}$  é chamando de resíduo, que você denota por res(f,$z_{0}$).

entao você tem uma caracterização desse resíduos envolvendo a f. Para esse exemplo especifico, iremos necessitar do teorema:

"Seja C uma região simplesmente conexa e seja λ um caminho simples fechado contido em C, orientado de modo positivo. Se f é uma função analítica em C,exceto em n singularidades isoladas z_1, . . . , z_n, pertencentes ao interior de λ, então    $\int zf(z) dx =2\pi i\sum_{j=1}^{n}res(f,z_{j})$.''

Para a sua integral, perceba primeiro que a função sen(z) tem zeros nos pontos múltiplos de k.π, k ∈ Z. Ne caso, z_0 é um destes pontos,  e daí temos sen(z_0) = 0,  cos(z_0) $\neq$ 0. Portanto, a função sen(z) tem um zero simples no ponto z_0. Desse modo, f tem um polo simples em z_0.

As singularidades $-\pi, 0, \pi$ pertencem a C(0,5). Assim,

$res\left( \frac{1}{sen(z)}, 0\right) =\frac{1}{(sen(z))'} =1$ em  0.


$res\left( \frac{1}{sen(z)}, \pi \right) =\frac{1}{(sen(z))'} =-1$ , em $\pi$



$res\left( \frac{1}{sen(z)}, -\pi\right) =\frac{1}{(sen(z))'} =-1$ , em $-\pi$. Aí usando o teorema de resíduo que citei, porque C(0,5) está nas condições da hipótese.
$\int_{C(0,5)} \frac{1}{sen(z)} dx=2\pi i(1-1-1) = -2\pi i$.

É importante você observar que tudo isso é necessário por conta das singularidades que existem dentro de C(0,5).


Bons  estudos....!

Answer 2

Use o teorema dos resíduos para concluir que a sua integral é -2.\pi.I, considerando as singularidades contidas no círculo.