Question

Pergunta Interessante: quanto vale a soma
Cos²∞ + Sen²∞ = ?
onde ∞(alfa) é um ângulo qualquer?

Answer 1

Observe a figura em anexo para melhor compreensão do que será feito nesta resposta.


O cosseno de α é calculado como sendo

•   $\mathtt{cos\,\alpha=\dfrac{\texttt{medida do cateto ajacente a }\alpha}{\texttt{medida da hipotenusa}}}$

$\mathtt{cos\,\alpha=\dfrac{c}{a}}\\\\\\ c=a\,cos\,\alpha$


•   $\mathtt{sen\,\alpha=\dfrac{\texttt{medida do cateto oposto a }\alpha}{\texttt{medida da hipotenusa}}}$

$\mathtt{sen\,\alpha=\dfrac{b}{a}}\\\\\\ b=a\,sen\,\alpha$


Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos que

$\mathtt{b^2+c^2=a^2}\\\\ \mathtt{(a\,cos\,\alpha)^2+(a\,sen\,\alpha)^2=a^2}\\\\ \mathtt{a^2\,cos^2\,\alpha+a^2\,sen^2\,\alpha=a^2}\\\\ \mathtt{a^2\cdot (cos^2\,\alpha+sen^2\,\alpha)=a^2}\\\\ \mathtt{cos^2\,\alpha+sen^2\,\alpha=\dfrac{a^2}{a^2}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{cos^2\,\alpha+sen^2\,\alpha=1} \end{array}}\quad\quad\mathtt{(i)}$


sendo α um dos ângulos agudos do triângulo retângulo.

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A relação $\mathtt{(i)}$ acima também é válida para outros valores de α no ciclo trigonométrico (ângulos nos outros quadrantes). É conhecida como Relação Trigonométrica Fundamental.