Question

Pergunta de Cálculo III - Engenharia:
1) Encontre o divergente de F= 2xyi + xy j - zk

Answer 1

Segue o divergente de F
F= 2xy i + xy j - z k
divF= 2y + x - 1

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o divergente da referida função vetorial é:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \textrm{div}\:\vec{F}= 2y + x - 1\:\:\:}}\end{gathered} }$  

               

Seja a função vetorial dada:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} F = 2xyi + xyj - zk\end{gathered}$

Organizando a função vetorial, temos:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{F}(x, y, z) = (2xy)\vec{i} + (xy)\vec{j} + (-z)\vec{k}\end{gathered}$

O divergente de uma função "F" vetorial no R³ - definido por "div F" - é o campo escalar dado pelo produto escalar do operador diferencial com a função F.  Ou seja

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{div}\:\vec{F} = \nabla\cdot\vec{F}\end{gathered}$      

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \bigg(\frac{\partial}{\partial x},\,\frac{\partial}{\partial y},\,\frac{\partial}{\partial z}\bigg)\cdot(X_{F}\vec{i},\:Y_{F}\vec{j},\,Z_{F}\vec{k})\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x} \cdot X_{F}\vec{i} +\,\frac{\partial}{\partial y}\cdot Y_{F}\vec{j} +\,\frac{\partial}{\partial z}\cdot Z_{F}\vec{k}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial}{\partial x}\:(2xy)\:\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\:(xy)\:\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\:(-z)\:\vec{k}\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2y \:\vec{i} + x\:\vec{j} - 1\:\vec{k}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2y + x - 1\end{gathered}$

Portanto, o divergente procurado é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \textrm{div}\:\vec{F}= 2y + x - 1 \end{gathered}$

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