Question

PERGUNTA 7 Dado o seguinte sistema :{ 4x+3y= 0 { 3x+2y= 0 Determine o valor de x e y e assinale a alternativa correta. a. S = {(4 , 3)} b. S = {(0 , 0)} c. S = {(-4 , 0)} d. S = {(0 , -1)} e. S = {(0 , -3)}

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{b)~S=\{x,~y \in\mathbb{R}~|~(x,~y)=(0,~0)}\}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Existem várias maneiras de encontrarmos a solução do seguinte sistema de equações lineares.

$\begin{cases}4x+3y=0\\ 3x+2y=0\\\end{cases}$

Aqui, utilizaremos a Regra de Cramer, que coloca o sistema em forma de matrizes e a partir dos determinantes, podemos encontrar as soluções.

Devemos lembrar que, na análise de existência de soluções, algumas informações são importantes.

• Quando o determinante principal é um número diferente de zero, o sistema é possível e determinado.
• Quando o determinante principal é igual a zero, existem dois casos:

1. Se os sistemas é formados por incógnitas de coeficientes inteiros e seus resultados são iguais a zero, o sistema é possível e indeterminado. Aqui, geralmente encontramos soluções triviais.
2. Se os sistemas são formados por incógnitas de coeficientes nulos e seus resultados são iguais a uma constante, o sistema é impossível e não apresenta soluções.

Aqui, temos que colocar o sistema em forma de matriz

$\begin{bmatrix} 4&3\\3&2\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\\end{bmatrix}$

O determinante principal será

$\begin{vmatrix}4&3\\3&2\\\end{vmatrix}$

Pela Regra de Sarrus, o determinante de uma matriz de ordem 3 ou inferior é calculado pela diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da esquerda para a direita e a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da direita para a esquerda. Isto é

$\begin{vmatrix}4&3\\3&2\\\end{vmatrix}=4\cdot2-3\cdot3$

Multiplique e some os valores

$\begin{vmatrix}4&3\\3&2\\\end{vmatrix}=8-9\\\\\\ \begin{vmatrix}4&3\\3&2\\\end{vmatrix}=-1$

Por fim, substituindo uma das colunas da matriz principal e calculando seu determinante, a razão entre este e o determinante principal será a solução da incógnita desta respectiva coluna, logo

$D_x=\begin{vmatrix}0&3\\0&2\\\end{vmatrix}$  e  $D_y=\begin{vmatrix}4&0\\3&0\\\end{vmatrix}$

No cálculo de determinantes, existe uma propriedade que trata sobre filas nulas. Quando uma coluna ou linha apresenta apenas elementos iguais a 0, seu determinante é igual a zero, ou seja

$D_x=0$ e $D_y=0$

Como dito, a solução para as incógnitas é

$x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{0}{-1}$ e $y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{0}{-1}$

Calculando as frações, temos que

$x=0$ e $y=0$

Portanto, as soluções desse sistema são $S=\{x,~y \in\mathbb{R}~|~(x,~y)=(0,~0)}\}$

Answer 2

Resposta:

A alternativa correta é: b. S = {(0 , 0)}

Explicação passo-a-passo:

Eu fiz o teste e acertei, esta é a alternativa correta.