Question

PERGUNTA 3. Calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções = e = ² - , considerando 1 ≤ ≤ 2.

Answer 1

A área da região compreendida entre os gráficos das funções y = x e y = x² - x, considerando 1 ≤ x ≤ 2, é $\frac{2}{3}$ unidades de área.

As funções são y = x e y = x² - x, considerando 1 ≤ x ≤ 2.

Solução

Precisamos calcular a área compreendida entre as funções y = x e y = x² - x, no intervalo 1 ≤ x ≤ 2. Essa tal área é a hachurada na figura abaixo.

Para resolvermos esse problema, vamos utilizar a integral definida.

Observe que a função superior é y = x e a função inferior é y = x² - x. Sendo assim, a função que integraremos é:

x - (x² - x) =

x - x² + x =

2x - x².

Montando a integral definida e resolvendo-a, encontramos:

$S=\int\limits^2_1 {2x-x^2} \, dx$

$S=x^2-\frac{x^3}{3}$.

Substituindo os limites de integração:

$S=2^2-\frac{2^3}{3}-(1^2-\frac{1^3}{3})$

$S=4-\frac{8}{3}-1+\frac{1}{3}$

$S=3-\frac{7}{3}$

$S=\frac{2}{3}$.

Portanto, podemos concluir que a área da região vale $\frac{2}{3}$ unidades de área.