Matemática, perguntado por rosilenebremer, 5 meses atrás

PERGUNTA 1

Um grupo de amigos forma um time de futebol. Levando-se em conta que, entre eles, existem três goleiros e que é preciso escolher um; há seis atacantes, e vamos escolher dois; há dez meio-campos, e devemos escolher quatro; e há oito zagueiros, dos quais quatro serão escolhidos.

Assinale a alternativa que apresenta quantos times diferentes podemos formar a partir dessas escolhas.

661.500.

297.

1.600.

240.

39.916.800.

PERGUNTA 2

De quantas maneiras pode ser selecionado um júri de 5 homens e 7 mulheres dentre um elenco de 17 homens e 23 mulheres?

a. C abre parênteses 23 vírgula espaço 5 fecha parênteses vezes C abre parênteses 17 vírgula 7 fecha parênteses

b. C abre parênteses 17 vírgula espaço 7 fecha parênteses vezes C abre parênteses 23 vírgula 5 fecha parênteses

c. C abre parênteses 17 vírgula espaço 5 fecha parênteses vezes C abre parênteses 23 vírgula 7 fecha parênteses

d. C abre parênteses 17 vírgula espaço 5 fecha parênteses vezes C abre parênteses 23 vírgula 5 fecha parênteses

PERGUNTA 3

Seis armazéns estão para receber carregamentos de um dos seguintes materiais: tintas, martelos ou telhas. De quantas maneiras isso pode acontecer? De quantas maneiras isso pode acontecer, se não tiver havido encomendas de tintas? Respectivamente:

a. 7 e 10
b. 28 e 7
c. 56 e 7
d. 7 e 28

PERGUNTA 4

Numa festa junina, 10 maçãs serão distribuídas para 7 crianças. De quantas maneiras isso pode ser feito, sendo que uma criança pode receber mais de uma maçã? E, de quantas maneiras isso pode ser feito, se cada criança receber pelo menos uma maçã, respectivamente?

a. C(15,9) e C(9,3)
b. C(16,10) e C(9,3)
c. C(16,3) e C(10,9)
d. C(16,10) e C(8,3)

PERGUNTA 5

O controle de qualidade de uma empresa deseja testar 5 chips de microprocessadores dentre os 100 que são produzidos diariamente. De quantas maneiras isso pode ser feito?

a. 87.287.520
b. 75.387.520
c. 75.287.520
d. 87.287.620

PERGUNTA 6

Vinte e cinco pessoas, incluindo Pedro e João, são candidatos a um comitê de cinco componentes. Se o comitê precisa incluir Pedro e João, de quantas maneiras o comitê poderá ser selecionado?

a. 51.359
b. 19.481
c. 23.276
d. 31.878

PERGUNTA 7

Quantas maneiras existem de escolher objetos, considerando a combinação C(n,n)?

a. 1
b. 0
c. n!
d. n

PERGUNTA 8

Um comitê do congresso americano, com três integrantes, precisa ser selecionado dentre 5 democratas, 3 republicanos e 4 independentes. De quantas maneiras podem ser escolhidos comitês que não incluam democratas e republicanos simultaneamente?

a. 135
b. 124
c. 115
d. 145

Soluções para a tarefa

Respondido por williamcanellas

As soluções dos problemas de contagem são:

1) 661500; 2) C; 3) B; 4) B; 5) C; 6) B; 7) A; 8) C

Análise Combinatória

Para responder as estas questões vamos aplicar algumas das técnicas de contagem como:

Princípio Fundamental da Contagem - Uso do conectivo "E".

Será dado pelo produto entre as possibilidades de realização de cada etapa do processo de escolhas.

Princípio Aditivo - Uso do conectivo "Ou".

Somatório das possibilidades que são necessárias para complementar o que é pedido.

Combinações Simples

Agrupamentos de "p" objetos escolhidos em um conjunto com "n" objetos, onde consideramos apenas a natureza dos elementos e não a sua ordem.

$C_{n,p}=\dfrac{n!}{p!\cdot (n-p)!}$

Combinações Completas

São combinações com repetições.

$CR_{n,p}=C_{n+p-1,p}=\dfrac{(n+p-1)!}{p!\cdot (n-1)!}$

Pergunta 1

Como nesse contexto o que importa são os jogadores que serão escolhidos, em cada posição do time teremos uma Combinação Simples e para formar o time como um todo usamos o Princípio Fundamental da Contagem (PFC).

Escolha do goleiro:

$C_{3,1}=\dfrac{3!}{1!\cdot 2!}\\\\C_{3,1}=\dfrac{3}{1}\\\\C_{3,1}=3$

Escolha dos atacantes:

$C_{6,2}=\dfrac{6!}{2!\cdot 4!}\\\\C_{6,2}=\dfrac{6\cdot 5}{2\cdot 1}\\\\C_{6,2}=15$

Escolha dos meios-campos:

$C_{10,4}=\dfrac{10!}{4!\cdot 6!}\\\\C_{10,4}=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\\\\C_{10,4}=210$

Escolha dos Zagueiros:

$C_{8,4}=\dfrac{8!}{4!\cdot 4!}\\\\C_{8,4}=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\\\\C_{8,4}=70$

O total de times diferentes que podem ser formados é dado pelo PFC:

$3\cdot 15\cdot 210\cdot 70=661500$

Pergunta 2

As escolhas devem ser feitas por combinação pois não importa a ordem das escolhas e sim quais as pessoas que participarão do júri.

$5H \ e \ 7M\Rightarrow C_{17,5}\cdot C_{23,7}\Rightarrow \dfrac{17!}{5!\cdot 12!}\cdot \dfrac{23!}{7!\cdot 16!}\Rightarrow 6188\cdot 245157=1517031516$

Pergunta 3

Nesse caso utilizaremos as combinações completas para determinar as soluções inteiras não negativas da equação:

$T_i+M+T_e=6\Rightarrow C_{8,6}=28$

Em seguida deveremos resolver a seguinte equação:

$M+T_e=6\Rightarrow C_{7,6}=7$

Pergunta 4

Nesse caso utilizaremos também as combinações completas para determinar as soluções inteiras não negativas da equação:

$a+b+c+d+e+f+g=10\Rightarrow C_{16,10}$

Em seguida como cada criança deverá ter pelo menos uma maçã, para garantir isso, retiramos 7 maças do total, logo obtemos a nova equação:

$a+b+c+d+e+f+g=3\Rightarrow C_{9,3}$

Pergunta 5

Basta calcular a combinação simples 5 elementos escolhidos num conjunto com 100 elementos.

$C_{100,5}=\dfrac{100!}{5!\cdot 95!}=75287520$

Pergunta 6

Há 25 pessoas no total e devemos escolher 5, logo $C_{25,5}=53130$ , desse valor retiramos os comitês onde Pedro e João não participam $C_{23,5}=33649$ portanto, $19481$ .