Pergunta: 1) Em um Prisma Hexagonal regular, a aresta da base mede 5 cm e a aresta da face lateral mede 8 cm. Calcule a área total. ( Área total = Área da base + Área lateral).
2) Num Prisma Triangular regular, a aresta da base mede 6 cm e a aresta lateral mede 12 cm. Calcule a área lateral e a área total do Prisma.
3) É dado um Prisma Pentagonal regular no qual a aresta da base mede 5 cm e a aresta lateral mede 10 cm. Calcule a área total do Prisma.
Soluções para a tarefa
Resposta:
1) 369,9 cm²
2) 229,856 cm²
3) 336 cm²
Explicação passo-a-passo:
Um prisma é composto por 2 bases em forma de polígono com n lados e n faces laterais, que são retângulos.
As dimensões dos retângulos são o tamanho da aresta do polígono da base (a) e a altura do prisma (h) e a área de cada um deles (Ar) igual a:
Ar = a × h
A área lateral, então, será igual à soma das áreas dos n retângulos:
Al = n(a × h)
Assim, a área total (At) será igual à soma das áreas das 2 bases (2Ab) com a área lateral (Al):
At = 2Ab + Al
Sabendo disto, vamos resolver cada uma das questões:
1) Prisma Hexagonal Regular:
Ab = área de um hexágono de aresta igual a 5 cm
Ab = 3a² × √3 ÷ 2
Ab = 3 × 5² × 1,732 ÷ 2
Ab = 64,95 cm²
A área de um retângulo dos 5 que formam a área lateral é igual a:
Ar = 5 cm × 8 cm
Ar = 40 cm²
E a área lateral, então:
Al = 6 × 40 cm²
Al = 240 cm²
A área total, igual a:
At = 2(64,95) + 240
At = 369,9 cm²
2) Prisma triangular regular:
Ab = área de um triângulo equilátero de aresta igual a 6 cm
Ab = a² × √3 ÷ 4
Ab = 6² × 1,732 ÷ 4
Ab = 6,928 cm²
A área de cada um dos 3 retângulos que compõem a área lateral:
Ar = 6 cm × 12 cm
Ar = 72 cm²
E a área lateral, igual a:
Al = 3 × 72 cm²
Al = 216 cm²
A área total:
At = 2(6,928) + 216
At = 229,856 cm²
3. Prisma pentagonal regular
Ab = área de um pentágono regular de aresta igual a 5 cm
Ab = semiperímetro (p) × apótema (ap)
Ab = p × ap
O semiperímetro é igual à metade da soma dos 5 lados:
p = 25 cm/2
p = 12,5 cm
O apótema (ap) é a altura relativa à base de cada um dos 5 triângulos isósceles que formam o pentágono:
ap = a ÷ (2 × tg 36º)
ap =5 ÷ (2 × 0,7265)
ap = 3,44 cm
A área da base, então, igual a:
Ab = 12,5 × 3,44
Ab = 43 cm²
A área de cada um dos 5 retângulos que forma a área lateral é igual a:
Ar = 5 cm × 10 cm
Ar = 50 cm²
A área lateral, então:
Al = 5 × 50 cm²
Al = 250 cm²
E a área total:
At = 2(43) + 250