Question

Pergunta 1
As superfícies de nível da função f : {R}^3 -> {R} definida por f(x, y, z) = 2x - 3y + 5z - 1 são:
A) Retas no R^2
B) Planos no R^3
C) Nenhuma das outras alternativas
D) Retas no {R}^3
E) Esferas no {R}^3

Pergunta 2
A curva de nível 4 da função f: {R}^2 -> {R} definida por f(x,y,z) = 16x^2 + 9y^2 - 140 é:
A)Elipse no plano, com eixos de tamanho 3 ( abscissas) e 4 (ordenadas).
B)Elipse no plano, com eixos de tamanho 16 (abscissas) e 9 (ordenadas). C)Elipse no plano, com eixos de tamanho 8 ( abscissas) e 6 (ordenadas).
D)Nenhuma das outras alternativas.
E)Elipse no plano, com eixos de tamanho 9 ( abscissas) e 16 (ordenadas).

Answer 1

1) Para determinar as superfícies de nível de uma função devemos igualá-la a uma constante.

Sendo f(x,y,z) = 2x - 3y + 5z - 1, temos que:

f(x,y,z) = k

2x - 3y + 5z - 1 = k

2x - 3y + 5z = k + 1

Perceba que a equação acima é da forma ax + by + cz = d, ou seja, 2x - 3y + 5z = k + 1 representa uma família de planos paralelos de vetores normais (2,-3,5).

Portanto, a alternativa correta é a letra b).

2) Sendo f(x,y,z) = 16x² + 9y² - 140, temos que as superfícies de nível são:

16x² + 9y² - 140 = k

Como queremos a curva de nível 4, então:

16x² + 9y² - 140 = 4

16x² + 9y² = 144

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16} = 1$

Temos aqui uma elipse de eixo maior igual a 8 (ordenadas) e eixo menor igual a 6 (abscissas).

Portanto, a alternativa correta é a letra d).