Question

Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura a seguir.



Nessas condições, quanto vale o ângulo ?

Answer 1

Resposta:

ângulo θ = 36° (vale 36)

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Explicação passo-a-passo:

Polígonos (figuras planas com lados, também conhecidos como Figuras geométricas) regulares são polígonos onde todos os lados e ângulos são congruentes, ou seja, todos os lados têm a mesma medida, e os ângulos também (não necessariamente a medida do lado = medida do ângulo). Sabendo disso, podemos calcular a medida de cada um dos ângulos internos de um polígono pela seguinte fórmula:

$180 - (\frac{360}{n})$

Onde n é o número de lados da figura. (Se quiser saber a explicação da fórmula deixarei uma nota no final da resposta).

Usando ela para calcular os ângulos internos de um pentágono regular:

$180 - (\frac{360}{n} ) = 180 - (\frac{360}{5} ) = 180 - 72 = 108$

Podemos perceber no ângulo θ, que o ângulo inteiro (360º) dele é formado por:

3 ângulos internos de um pentágono e o ângulo θ

E como sabemos os valores dos ângulos internos:

• ângulo θ + 3 . (108) = 360
• ângulo θ + 324 = 360
• ângulo θ = 360 - 324
• ângulo θ = 36

Assim, o ângulo θ vale 36

• A fórmula $180 - (\frac{360}{n} )$ vem da repartição do polígono em triângulos congruentes: podemos pegar o ponto no meio exato do polígono e traçar retas ligando ele a todos os vértices. Assim formaremos n triângulos iguais. Como no meio foi formado um ângulo 360 e os lados dos triângulos dividiram ele em n, pegamos 360/n para obter cada um deles. E olhando pra um desses triângulos, vemos que eles são isósceles, e que descobrimos o ângulo do topo, basta pegar [180 - (360/n)] / 2 para descobrir 1 dos ângulos da base. Por fim, vemos que o ângulo da base x 2 é igual a um dos ângulos do polígono maior. Então podemos eliminar o (/2) x 2 da conta, e deixarmos só:

• $180 - (\frac{360}{n} )$

• Existem também outras fórmulas mais simples, deixo essa como exemplo:
• https://www.obaricentrodamente.com/2011/07/como-determinar-o-angulo-interno-de-um.html

• Caso tenha gostado da resposta, autor, certifique-se de marcá-la como a melhor resposta!