Question

Pensemos numa situação em que uma pessoa fica sabendo de um boato, não necessariamente verdadeiro, e gasta 10 minutos para contar para os seus três melhores amigos. Creio que é assim que as fofocas espalham-se. Imagine que cada um dos três amigos resolve fazer a mesma coisa e 10 minutos depois contam a novidade para três colegas que ainda não a conheciam. Assim, cada um que recebia a notícia sempre a transmitia para três colegas desinformados, gastando, para isso, 10 minutos.

Veja como a fofoca espalha-se e complete a tabela:



a) Quantos alunos ficaram sabendo do boato no período entre 20 e 30 minutos?

b) Quantos alunos ficaram sabendo do boato na primeira meia hora?

c)Se, na escola onde estudam, há 364 alunos, em quantos minutos todos os alunos ficaram sabendo do boato? Lembre-se que a quantidade de pessoas que ficam sabendo do boato acumula-se. Por exemplo, a partir do momento que a primeira pessoa conta para outras três, já são quatro sabendo do boato. No segundo momento, já são 1 + 3 +9 e assim sucessivamente.​

Answer 1

a) Se nos primeiros 10 minutos um aluno sabe da fofoca e depois conta para mais 3 que contam para mais três nos próximos 10 minutos e estes contam para mais 3 nos próximos 10 minutos, temos que em 20 minutos, o total de alunos que sabem do boato é 1 + 3 + 9 = 14.

b) Cada um destes nove alunos contam para mais três cada, ou seja, após meia hora, teríamos:

1 + 3 + 9 + 27 = 41 alunos

c) Note que o número de alunos a cada 10 minutos aumenta de forma geométrica, ou seja, an = 3^n, onde n é o número de intervalos de 10 minutos. Então, temos:

n     an

0      1

1       3

2      9

3     27

4     81

5    243

Somando tudo, temos:

n = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243

n = 364 alunos

Logo, é necessário 50 minutos para que todos fiquem sabendo.